如何证明映射既是单射又是满射（Day215:映射单射-双射-满射）

最近看的一篇论文里出现了partial map的概念，用我的散装英文乍一翻译——“部分映射”?印象中高中和大一的高数书里都讲过，但一些概念已经忘差不多了(罪过罪过- -)，索性重新熟悉一下。

• 百度，发现“部分映射”这个词在百度词条里没能拥有百分百匹配的姓名。

• Wikipedia维基百科里给出的是一个很相似的英文词汇，partial function。以下两张图分别是partial function和total function。维基百科里给出的定义是，如果X’ = X，是total function；否则是partial function。到这里已经清楚了，论文里partial map大概是个什么意思。【应该是查询图H(包含多个子图)，并不是所有的子图在原始网络G中都能找到对应的映射值】

• 映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。【一个x只能对应一个y，但多个x可以对应一个y】
• partial function，对于X中的值，可以有x1在Y中找不到相应的映射。
• total function，X中所有的值，xi在Y中都能找到相应的映射。
• injective，单射。指将不同的变量映射到不同的值的函数。例如，指数函数exp：R → R ：x → e^x（e的x次方）是单射的。自然对数函数ln：(0， ∞) → R：x → ln x也是单射的。
• onto，满射。指陪域等于值域的函数。即：对陪域中任意元素，都存在至少一个定义域中的元素与之对应。

这里解释下，陪域。

映射定义为集合A到B的对应关系，并且满足对于每一个A中的元素（原象）都存在惟一的B中的元素（象）与之对应。那么我们把A称为这个映射的定义域，把B称为陪域。 把B中的一个特殊的子集：所有A中元素在B中的象的集合叫做值域。 所以，形象地说值域就是象集合，陪域是包含值域的任意集合。陪域>值域

• bijective，双射（也称一一对应）：既是单射又是满射的函数。直观地说，一个双射函数形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。 （在一些参考书中，“一一”用来指双射，但是这里不用这个较老的用法。）

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下面用几张图更好的理解一下。

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