容斥原理50经典例题图解初中(浇水天数如何算)

计数问题是生活中常见的问题,在计数时,必须注意每个元素有且仅有一次记录,既没有重复,也没有遗漏。一般情况下,我们会将所有元素全部计数一遍,之后再减去重复计数的部分,这就是容斥原理

容斥原理50经典例题图解初中(浇水天数如何算)(1)

容斥原理的核心公式:

1、A∪B = A B- A∩B

2、A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C

通俗的来说:

1、两集合条件下:元素总数=满足集合1的个数 满足集合2的个数-都满足的个数

2、三集合条件下:元素总数=满足集合1的个数 满足集合2的个数 满足集合3的个数-同时满足集合1、2的个数-同时满足集合2、3的个数-同时满足集合1、3的个数 同时满足集合1、2、3的个数

容斥原理50经典例题图解初中(浇水天数如何算)(2)

公式看起来十分的生涩,下面找几个例题练习一下吧。

1、园丁小王负责给甲、乙、丙三个暖房浇水。已知甲、乙、丙三个暖房分别需要每隔2、4、7天浇水一次。小王在2019年1月1日给三个暖房都浇过水了,问他在整个1月份不需要浇水的天数有几天?

容斥原理50经典例题图解初中(浇水天数如何算)(3)

分析:由于1月份共31天,数量不大,可以采取笨办法穷举法,如下图所示。

容斥原理50经典例题图解初中(浇水天数如何算)(4)

从上表可知不需要浇水的天数为14天。不过这是一个典型的甲、乙、丙的三集合的容斥原理问题。需要浇水的天数=每隔2天需要浇水的甲暖房天数 每隔4天需要浇水的乙暖房的天数 每隔7天需要浇水的丙暖房的天数-同时给甲、乙浇水的天数-同时给甲、丙浇水的天数-同时给乙、丙浇水的天数 同时给甲、乙、丙浇水的天数=11 7 4-3-2-1 1=17天。因此不需要浇水的天数为31-17=14天。

容斥原理50经典例题图解初中(浇水天数如何算)(5)

2、外语学院某年级的135人中,同时会英语和法语的有31人,同时会英语和德语的有37人,同时会法语和德语的有16人,已知一部分人同时会三种语言,而另一部分只会其中一种语言。请问至少有多少人只会一种语言?

容斥原理50经典例题图解初中(浇水天数如何算)(6)

分析:同样是一个三集合的容斥原理问题,但是题目中只知道元素总数和同时符合两集合的数量,但是只满足一个集合的元素数量和同时满足三集合元素数量未知。假设有m人只会一种语言,n人三种语言都会语言,关系见下图:

容斥原理50经典例题图解初中(浇水天数如何算)(7)

我们可得:135=m 31 37 16-2n,这里之所以减去2倍的n,是因为之前的(m 31 37 16)把三种语言都会的n重复加了3次,因此之后要减去2次。整理不定方程式得:m=51 2n,要使m最小,n应取最小值,已知“一部分人同时会三种语言”,因此n最小取1,此时m=53,因此至少53人只会一种语言。

容斥原理50经典例题图解初中(浇水天数如何算)(8)

OK,今天就介绍到这里,大家有没有收获呢,欢迎大家关注、收藏、点赞、评论,谢谢!

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