与圆有关的经典最值问题（圆中的多解问题的分类讨论）

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多种解答。解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。这样可以避免错解，漏解，并且培养同学们分析问题、解决问题的能力。本文就近年中考题举例说明如下：

一、点和圆的位置

凡涉及到点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。

例1、点p到⊙O的最大距离为6cm，最小距离为2cm，求⊙的半径。

分析：依题意，点P与⊙O的位置关系有两种：

（1）点P在⊙O内，如图，PB=6，PA=2，所以AB=8，所以半径为4.

（2）点P在⊙O外，如图，PB=6，PA=2，所以AB=4，所以半径为2.

提升：过不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径R为___________。

分析：依题意，点A与⊙O的位置关系有两种：

（1）点A在⊙O内，如图1，延长AO交⊙O于F，连接BE，CF，易证∆ABE∽∆AFC,则AB:AF=AE:AC,所以AB·AC＝AF·AE,设半径为R,则（R 10）（R-10）=64，解得R= 二倍根号４１（负值已舍）

（2）点A在⊙O外，如图2，同理可得R=6.

二、点与弦的相对位置

例2、点O为三角形ABC的外心，且∠BOC=60度，∠BAC= 。

分析：三角形的外心根据三角形的不同种类分别位于三角形内，斜边中点上，三角形外。因为∠BOC=60度，所以O点分两种情况，如图，当点O在三角形内时，则∠BAC=30度；当点O在三角形外时，∠BAC=150度.

变式：⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________。

三、弦所对的圆周角

例3. 半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为１，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。

分析：弦所对的圆周角有两种情况：

（1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为３0°；

（2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为1５0°。

（注意：圆中一条弦所对的一对圆周角互补）

四、平行弦与圆心的位置

例4. 在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6cm，弦CD＝8cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。

分析：两条平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。

解：过O作AB、CD的垂线，分别交AB、CD于点E、F，连接OA、OC

在Rt△OAE中，AE² EO²= AO²所以EO =4

在Rt△OCF中，CF² FO²= CO²所以FO =3

（1）当AB、CD在圆心O的同侧时，如图5，AB和CD之间的距离为4–3=1cm

（2）当AB、CD在圆心O的异侧时，如图6，AB和CD之间的距离为4 3=7cm

所以AB和CD之间的距离为1cm或7cm。

五、圆心与角的位置

例5. 在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为根号三和根号二，则∠BAC的度数是____________。

分析：如图7，当圆心在∠BAC内部时，连接AO并延长交⊙O于E

在Rt△ABE中，cos ∠BAE =根号三：2

所以∠BAE＝30°

同理，在Rt△CAE中，EC＝AC，所以

∠EAC＝45°，

当圆心O在∠BAC的外部时（∠BAC”），由轴对称性可知：∠E 'AC =45°

所以∠BAC为75°或15°

六、点在弧上的位置

例6. 如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OAB＝_________度，∠OPB＝_________度。

分析：依题意可知△AOB是等腰直角三角形，所以∠OAB＝45°

当动点P在优弧OAB 上时，∠OPB＝∠OAB＝45°

当动点P在劣弧OB上时，∠OPB＝180°－45°＝135°

故∠OPB为45°或135°。

提升：如图，点A是半径为12cm⊙O上的一个定点，动点P从A点出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A时立即停止运动。如果∠POA=90°，求点P的运动时间。

七、直线与圆的位置关系。

例7、在平面直角坐标系中，直线y=2x-8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P。当k为何值时，⊙P与直线y=2x-8相切。

分析：当⊙P与直线y=2x-8在B点上方相切时，此时点P至AB的距离为3，利用相似可求BP的长，从而求出P点坐标；当⊙P与直线y=2x-8在B点下方相切时，此时点P至AB的距离为3，利用相似可求BP的长，从而求出P点坐标。

同学们，拿起手中的笔来试试吧！

知识是静态的，思维是活动的。类似上面的一题多解的题型，这只是其中沧海一粟，大家在解题过程中，如果有意识的去分析和研究，是举不胜举的，愿大家每遇上一道题都能深入去观察、分析、解决与反思，相信定不会放过任何一种可能。

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