八年级轴对称图形单元难题 八年级上学期轴对称图形

八年级上学期,前两章主要讲解了全等三角形和轴对称图形。学完前两章后,当你看到“中点”字眼时,你能想到哪些知识点呢?

八年级轴对称图形单元难题 八年级上学期轴对称图形(1)

倍长中线法

倍长中线法是全等三角形中比较常见的添加辅助线的方法,利用该方法可以构造全等三角形,从而得到线段的倍数关系,既可以用在线段长度的求解上,也可以用在证明上面。

例题1:阅读并完成以下填空:

如图1,已知:AD为△ABC的中线,求证AB AC>2AD.

证明:延长AD至E使得DE=AD.连接EC,则AE=2AD.

∵AD为△ABC的中线,

∴BD=CD.

在△ABD和△CED中,BD=CD,_____,_____.

∴△ABD≌△CED.

∴AB=EC.

在△ACE中,根据三角形的三边关系有AC EC_____AE.

而AB=EC,AE=2AD,

∴AB AC>2AD.

这种添加辅助线的方法,我们称为“倍长中线法”.请利用这种方法解决下列问题:

问题1:如图2,在△ABC中,AC=5,AB=13,D为BC的中点,DA⊥AC.求△ABC的面积.

问题2:如图3,在△ABC中,AD是三角形的中线.点F在中线AD上,且BF=AC,连接并延长BF交AC于点E.求证AE=EF.

八年级轴对称图形单元难题 八年级上学期轴对称图形(2)

分析:问题1:延长AD至E使得DE=AD.连接EB.证明△ADC≌△EDB(SAS).由全等三角形的性质得出AC=BE=5,∠DAC=∠E.根据勾股定理可求出AE=12,则可求出答案;

八年级轴对称图形单元难题 八年级上学期轴对称图形(3)

问题2:延长AD到点G,使DG=DF,连接CG.证明△BDF≌△CDG(SAS).由全等三角形的性质可得出BF=CG,∠BFD=∠G.得出∠G=∠GAC,∠AFE=∠GAC,则可得出结论.

八年级轴对称图形单元难题 八年级上学期轴对称图形(4)

本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,三角形三边关系,勾股定理,三角形的面积,熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键。

八年级轴对称图形单元难题 八年级上学期轴对称图形(5)

直角三角形斜边上的中线

在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,这个知识点在解题时比较容易忽视。

例题2:如图,BN、CM分别是△ABC的两条高,点D、点E分别是BC、MN的中点,求证:DE⊥MN.

八年级轴对称图形单元难题 八年级上学期轴对称图形(6)

分析:先连接DM、DN,根据直角三角形斜边上的中线的等于斜边的一半,得到DM=DN。那么△DMN为等腰三角形,再根据“三线合一”即可得到结论。

八年级轴对称图形单元难题 八年级上学期轴对称图形(7)

本题考查了直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质,掌握等腰三角形判定与性质及直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键。

八年级轴对称图形单元难题 八年级上学期轴对称图形(8)

等腰三角形三线合一

等腰三角形,顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合。等腰三角形三线合一的前提条件是等腰三角形,然后三线中已知任意一线,可得到另外两线。这里一共有四个条件,只要知道任意两个条件,其它两个都可以证明。

例题3:已知,如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD平分∠ABC,AD⊥BD于D,交AC于E,求证:BE═2AD.

八年级轴对称图形单元难题 八年级上学期轴对称图形(9)

分析:由BD⊥AD且BD平分∠ABC 证得AD=FD,再根据∠FAC ∠AED=90°,∠CBE ∠CEB=90°,进一步求得△AFC≌△BEC,则得AF=BE,从而得到结论.

八年级轴对称图形单元难题 八年级上学期轴对称图形(10)

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