三相交流电的相量和图形（用三角函数知识洞悉三相交流电）

三相交流电的来龙去脉

三相交流电是由三个频率相同、电势振幅相等、相位差互差120°角的交流电路组成的电力系统。

三相交流电的主要优点：

1. 在发电方面，三相交流发电机比相同尺寸的单相交流发电机容量大；
2. 在输电方面，如果以相同电压将相同大小的功率输送到相同距离，三相输电线比单相输电线节省材料；
3. 在用电方面，三相交流电动机比单相交流电动机结构简单、体积小、运行特性好等。

三相交流电是目前世界各国主要的供电方式。

三相交流电的发电

三相交流发电机利用导线切割磁力线感应出电势的电磁感应原理，将机械能变为电能输出。三相交流发电机的主要组成部分是电枢和磁极。

电枢是固定的，亦称定子。定子铁心的内圆周表面冲有槽，用以放置三相电枢绕组，它们的始端（头）标以A，B，C，末端（尾）标以X，Y，Z。绕组的始端之间或末端之间都彼此相隔120度。磁极是转动的，亦称转子。转子铁心上绕有励磁绕组，有直流励磁。

三相交流电机原理动画

三相交流电的数学表达

当转子由外部动力驱动，并以匀速按顺时针方向转动时，则每相绕组依次切割磁力线，其中产生频率相同，幅值相等的正弦电动势：

三相交流电电动势相位彼此相差120°（也即弧度2π/3）。

以我国大陆三相交流电为例，则上式中伏特。另，其中为三相交流电的频率，我国为50Hz。

三相电动势在一个坐标系中画出来后如下图所示：

三相交流电叠加：

上述公式推动过程中用到了三角函数和差化积公式：

三相交流电的电压

• 相电压：火线与零线之间的电压。

三条火线的相电压分别为，也即

相电压的最大值为，对应着我国的伏特。相电压的波形是随时间变化的正弦波，电势在-311V-311V之间波动。

• 线电压：火线之间的电压。

线电压有。计算如下：

上式推导过程中要到了三角函数的和差化积公式：

线电压函数曲线表示如下：

可见，线电压波形也是正弦区县，其最大值为。按中国标准，线电压最大值为伏特。

那么我们平时说的220V、380V是怎么回事呢？这两个值实际分别是相电压和线电压的有效值。

• 有效电压

我们先来看有效电压的定义：

把一个直流电压和一个交变电压分别施加在两个相同的电阻器件上，如果在相同时间内它们产生的热量相等，那么就把直流电压的值作为交变电压的有效值。也叫做有效电压。交流电的大小是随着时间变化而变化的，瞬时值(某一瞬间)的大小在零和正负峰值之间变化，最大值也仅是一瞬间数值，不能反映交流电的做功能力。-----来自百度百科

根据定义，如何求这个有效电压呢？对正弦波电压，有效电压与最大电压之间有啥关系呢？

假定一个周期内直流电压施加给电阻R所产生的热量为：

交流电压施加给同样的电阻R，在一个周期内所产生的热量：

根据定义，这两个电压施加给同样的电子R所产生的热量相等，即

也即

解得

计算得到U=220V，这就是我们日常提到的家用220V电压（相电压的有效电压）。

同样，我们也可以计算线电压的有效电压：

令，得到

求得

大学本科理工科一般都开有电工学课程，对三相交流电有一定的介绍。但电工课程教材中往往只给出了结论，对内在原理往往一知半解。互联网上也缺乏一个系统而直观的描述。

本人不是电工学专家，所以只能基于互联网上收集的大量杂碎信息进行整理分析，并通过三角函数、微积分等知识，通透解析我们日常了解的一些支离破碎的电工学概念。冀我的努力对有兴趣的筒子有所帮助。

呼吁：日常生活中尽量使用清洁能源，如电动汽车。

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