等腰三角形的判定能提出的问题（等腰三角形的存在性问题）

等腰三角形的存在性问题

有关等腰三角形的存在性问题，一般都是放在平面直角坐标系中和抛物线结合起来考察，这种题的解法套路一般都是固定的，同学们在学习的过程中只需要牢固掌握等腰三角形存在的基本模型：两圆一线，多加练习，这类问题就可以轻松掌握。

模型讲解

“两圆一线”模型：在平面直角坐标系中遇到等腰三角形的相关问题后，通常是以顶点作为分类标准，这样就可以构造辅助圆来解决问题。比如下图中，确定一点M，使三角形ABM为等腰三角形，处理方法如下：当以点A为顶点时，M点的轨迹就是以点A为圆心，AB长为半径的圆，然后根据约束条件来求解；当以点B为顶点时，M点的轨迹就是以点B为圆心，AB长为半径的圆上，然后根据约束条件来求解；当以点M为顶点时，点M的轨迹就在线段AB的垂直平分线上，然后根据约束条件来求解。

典型练习

1.如图,已知点A(1,0)、点B (－3,0)和点C(0,3).直线x=-1与x轴交于点M ，问在直线x=-1上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：先找点,后求解，找点方法:两圆一线

2.已知抛物线y=ax^2 bx c经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：具体解法如下图所示：

3.如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A（-1,0），C(0,2).

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形.如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

解题思路：（1）用代入法建立方程组求二次函数表达式；（2）分别以点C，D为圆心，以CD为半径作圆与抛物线对称轴有三个不同的交点，所以以CD为腰的等腰△PCD有三个；