红色坐垫椅子圆形欧式（斜边上的正方形）

这块古老的石头展现了古巴比伦人（约公元前1700年）如何采用六十进制计算2的平方根到小数点后3位（由比尔·卡斯尔曼绘制）

作者 | [英]约翰·D.巴罗(John D. Barrow)

来源 | 《科学的画廊》，人民邮电出版社，2022年6月。[好玩的数学]获授权转载。

有人说，几何的艺术就是用错误的图推出正确的结论。

——让·迪厄多内（Jean Dieudonné）

世界上所有学校的大小学生都知道这样一条著名的数学定理，它存在于西方世界第一本伟大的数学书中。而该书的作者就是大家都知道的欧几里得。他是亚历山大城的图书馆和大学的顶级数学家。这座城市建于公元前332年，以其创造者亚历山大大帝的名字命名。城中的图书馆是古时最大的图书馆，拥有超过60万的卷轴。在公元前300年，城中的图书馆和大学都对外开放。

欧几里得搜集了毕达哥拉斯学派伟大的数学家们的成果，包括阿契塔（Archytas）、希波克拉底（Hippocrates）、欧多克索斯和泰阿泰德的作品，当然也包括他自己的作品。他按逻辑演进的顺序把这些内容编纂成一部共13册的书卷。这是人类历史上最有影响力的教科书——《几何原本》。这部书是一份珍贵的财富，它通过巧妙的数学论证展示了公理法在实际中的应用。欧几里得在一开始就清楚地列出公理、假说和推理原则，然后利用这些内容系统化地证明定理。这种严格的演绎法在之后的几千年中都是不同学科的学者们的推导模型。从托马斯·阿奎那（Thomas Aquinas）到巴鲁赫·斯宾诺沙（Baruch Spinoza），我们看到了一种以欧几里得命题和证明为蓝本的论证方法。的确，这种代代相传的数学推演方法在哲学和神学领域是被视为绝对的真理而存在的，它不是基于事实的简单描述或模型。

直到19世纪初期以前，欧氏几何一直被认为是对空间形态的真实描述。而当伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）、尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky）、鲍耶·亚诺什（János Bolyai）和高斯在严格意义下创建出用来描述曲面（如球面或者马鞍）的非欧几何时，哲学家们都十分震惊。欧式几何一下子变成了几何学的一种，而其他几何也都是完备的、逻辑的、前后连贯的，并被一套严格的公理所定义。几何的发现激发了人们在大环境下的相对性思考，无论在几何学、政治学、宗教还是人类学领域里，“绝对真理”过时了。

没有人会质疑欧几里得的书在深度和广度上给人类带来的巨大影响，但其中的一个定理以及对应的一个图形已成为影响力最大的理论。它是《几何原本》第一卷里48个命题中的一个，最终被艰难地证明了。这是所有直角三角形的共有特点，即众人皆知的“毕达哥拉斯定理”：任何一个直角三角形的三条边A、B和C，其中C是最长的边，于是有：

有一个传说，毕达哥拉斯在等待叩见萨摩斯岛的暴君波利克拉特斯（Polycrates）时发现了这个定理。在宫殿的门厅中等待的时候，毕达哥拉斯开始研究起地板上的正方形图案。如果他用一条对角线划分那个正方形的话，那么，由对角线形成的正方形的面积恰好是其原来的边形成的正方形面积的2倍。换句话说，三角形斜边的平方等于其他两边的平方和。这就是上面公式中A等于B的特殊情况。无论如何，这是个好故事！

一幅早期的希腊平面图，欧几里得用它展示毕达哥拉斯定理

在《几何原本》中，欧几里得在限制更少的情况下，即A和B不相等时，证明出了这个定理。他采用的作图线方法和章首图片有些类似。其实，那块石头的作用是垂坠新娘在婚宴上所坐的椅子。这个定理表达的是正方形BCED的面积等于正方形AHKC和GABF之和（上页图）。

事实上，据我们所知，在远早于毕达哥拉斯生活的年代，古巴比伦人、中国人、古印度人和古埃及人就已经有上百种方法来证明毕达哥拉斯定理了。古巴比伦人在公元前1600年就知道如何通过毕达哥拉斯定理选择三边A、B和C来构建直角三角形。

在本章开头，那块小楔形文字碑上画有一个正方形及其对角线5。上面刻画的楔形文字注明了边长，它所用的计算方法是古巴比伦人惯用的十进制和六十进制混合法6。正方形的边长是10×3 = 30。如果你会用毕达哥拉斯定理，就能算出对角线的长度应该是30×，所以对角线与边长之比就是2的平方根。在六十进制中（乘以30与除以2相同），对角线的表达方式是42;25,35和1;24,51,10等于2的平方根。把六十进制的算法变成十进制，古巴比伦值就是：

(向左滑动查看完整公式)

这个值已经精确近似到小数点后6位（对于六十进制来说是4位）。

从某种程度来说，已知中国最早的勾股定理的证明方法十分优雅，也最匠心独具。这个方法被记录在中国最古老的数学教科书《九章算术》中。这本书的一些部分内容甚至可以追溯到公元前600年。在大正方形里画四个一样的直角三角形，三角形的三条边为A、B和C。这时候，你会发现大正方形的面积等于四个三角形之和（4×,1-2.AB）加上中心小正方形的面积。所以，我们可以得出。或者，另一种也很简单的证法是，在大正方形内挪动四个三角形，形成两个长方形，你会发现在大正方形中非三角形部分的面积在两幅图中肯定相同，所以。

公元前600年，中国人证明勾股定理的图示：大正方形的面积等于四个直角三角形与小正方形的面积之和

毕达哥拉斯定理在今天仍然受到人们的关注。1670年，法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）有了一个猜想：等式

当A、B和C都为正整数，且n是大于2的正整数时无解。费马猜想流传甚广。费马在1621年出版的《算术》（注：这是由亚历山大的丢番图（Diophantus）翻译的古希腊数学文本的拉丁语译本。）一书的第85页问题11.8旁留下了标注，说他已经成功地证明了自己的猜想，但“页面空白处太小，无法写下”（Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet）。可惜，至今没有人相信他。从那时起，费马猜想就是数学领域的一大问题。在长达几百年间，很多人都尝试过证明或证伪费马定理。直到1994年，普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）和理查德·泰勒（Richard Taylor）终于以极端复杂的方法证明了这个极具诱惑的猜想。费马是对的。只有n等于2时，等式中的A、B和C才有非零整数解。

12世纪拉丁文译本的欧几里得《几何原本》第四卷并没有完整地证明毕达哥拉斯定理。书中只提供了不完整的图形供学生使用，尝试完整的证明。请注意每个图形中的标记是如何引导读者找到与之对应的陈述的。比如，内装有小圆圈的大圆圈（从下向上第四个图）中有两个“勾号”，对应于列表中的第六个陈述，并用“∂”标记出来

在14世纪一个不知名的《几何原本》版本中，定理的陈述和证明部分被删除了，但相关图形保留了下来，为读者创造了自己进行证明的条件。《几何原本》第三卷的命题3.4有多种不同情况展示：圆内任何相交弦的相交部分（从交点开始）所形成的长方形面积，取决于另一条弦的相交部分。不同的图中表达了弦相交的不同情况

本章中展示的图片不仅有伟大的历史和影响力，而且和其他很多图片一样，引发了众多争议。从1934年开始，以安德烈·韦伊（André Weil）为核心的一小群法国数学家开始在位于巴黎拉丁区的一家名为Capoulade的咖啡馆里聚会。他们的目的是用更新、更严谨的方式重新整合数学的各个部分，从而体现出他们共同信奉的逻辑结构。这群数学家为自己取了一个共同的笔名——尼古拉斯·布尔巴基（Nicolas Bourbaki），它是普法战争中一位将军的名字。他们从此开始了一项宏伟的工程。布尔巴基小组选择了纯数学核心领域的五个主题展开详细讨论，并排除了所有应用数学。（难道觉得它血统不纯？）让·迪厄多内如此评价道：“在我看来，现代数学就像一个毛球，各种数学一丛丛、一束束的，以无法预测的形式纠缠在一起。这个毛球从各个方向伸出线头，它们和什么都不搭边。布尔巴基的方法很简单——剪掉这些线头。”7

通过小组成员不懈地批判和重写，布尔巴基学派的教科书不断取得进展。他们引入了很多当今数学通用的符号和术语——很多人都不知道，这些符号和术语其实是拜布尔巴基学派所赐。但很多数学家，尤其是应用数学家认为布尔巴基学派施加的某些影响是有害的。他们以牺牲问题和例证为代价来强调数学结构。比如，布尔巴基学派从不使用图。数学直觉被无情地塞进公理的紧身衣中，被紧紧包裹。追求不同领域的共同结构的梦想，最终影响了众多国家的学校课程。回顾过去，我们发现这并不成功。这一方法过早地引入了复杂的概念，学生们还没有从问题本身获得激励和兴趣，因此无法发展出解决问题的技巧。家长们都无法帮助自己的孩子，因为他们也看不懂需要解决的数学问题。

布尔巴基学派想要彻底废除“用图证明”的方法——然而，图在数学定理的证明中起着重要作用。这种思想其实并不新鲜。拉格朗日的四卷本力学巨著《分析力学》（Mécanique Analytique）就因完全不用图和几何表达而闻名。作者在前言中对这种做法甚为肯定。然而，拉格朗日的伟大前辈——牛顿，反而像今天的我们一样，凡是在图能发挥作用的地方就会毫不犹豫地使用它们。我们知道，一旦用图证明问题可能存在，就有办法用逻辑把这个过程表达出来，而表达出来的东西又可以用到更广阔的例证上。这些例证可能起初并不包含在图中，而且依靠人类的洞察力也并非显而易见。比如，欧几里得就是通过替换直角三角形边上的正方形和其他图形来推广最初的毕达哥拉斯定理的8。

第一本“弹出式”图书也是关于立体几何的。这两页出自亨利·比林斯利翻译的最早的英文版《几何原本》（The Elements of Geometrie of the Most Auncient Philosopher EUCLIDe of Megara Faithfully Translated Into the Englishe Toung by Henry Billingsley, London, 1570），展示了折叠图形的巧妙用法。这本书中一共有34处弹出图例，由著名的英国出版商庄台公司出版

但是，画错了的图会导致严重错误。在中世纪，falsigraphia一词专门用来形容画错的图和有问题的论点。抄写古代手抄本的工作十分艰苦，经常会造成错误，图要么被漏掉，要么被抄错。出于类似的原因，有些证明也被省略了，取而代之的是一些用来表述定理的图例。在有些情况下，图例虽然都在，但没有配注标示的字母（留给别人去标）。拉丁文版的欧几里得《几何原本》第四卷给出了定理的陈述，还有一些不完整的图，但没有附上证明。相反，14世纪版本的《几何原本》第三卷开头的6个命题都有相应的陈述、证明和图例，但是后来的命题也只是草草地给出了图例，没有证明或陈述。难道说，这类出版物的特点就是“点明关键点”，其目的只是方便考试复习？还是在课堂上的随堂测验，方便学生们填写留下的空白？

在1980年，因为主要成员退休，同时又和出版商产生了矛盾，布尔巴基学派最终走向了没落。几十年过去了，这个团体再没有发表过任何有影响力的出版物，其影响力逐渐消逝了9。这也许是因为人们都太喜欢图了？但是，把这作为结论实在是太草率了。布尔巴基学派的数学家们与持反对观点的数学家们展示了数学领域中存在的“两种文化”。一类人喜欢建立结构并形成可以推广的结论，另一类人喜欢提出和解决具体问题——虽然说，没有哪个数学家单纯属于其中一派。有时候，后者的研究重点会将他引导到前者的领域中，反之亦然。事实上，永远都存在不同的观点。人们不断争论到底哪种观点（应该）占上风，这也许恰恰证明了两个观点之间存在着有益的平衡点吧。

注释

1. DIEUDONNÉ J. Mathematics—The Music of Reason. Berlin: Springer, 1987: 37.

2. 具体地说，欧几里得给出了23个初始定义，例如“点”是“没有部分的东西”。5个假设支配着可以在数学上构造和存在的东西。比如，第一个假设是：“从任意一点画一条直线都能到达任意另外一点。”继5个假设之后，欧几里得给出了5个常识性真理，例如，如果两个事物都等于第三个事物，那么它们一定彼此相等。然而，第5个常识性真理，即整体一定大于其一个部分，虽然这听起来显而易见，但实际上是错误的。任何无穷数集合（如正整数集合）都具有无穷子集（如偶数集合），其元素可一一对应。因此，无穷集合及其无穷子集大小相同。参见BARROW J D. The Infinite Book. London: Jonathan Cape, 2005.

3. 关于毕达哥拉斯的研究，可参阅美国数学学会的官方网站。

4. 也被称为“孔雀尾巴”或“弗朗西斯康的斗篷”，希腊文献中还称之为“已婚妇女定理”。请参阅：SMITH D E. History of Mathematics. New York: Dover, 1958: 289.

5. 这块碑牌是耶鲁大学古巴比伦文物收藏，编号YBC 7289。细节研究最初由奥托·纽介堡（Otto Neugebauer）和亚伯拉罕·萨克斯（Abraham Sachs）发表：NEUGEBAUER O. The Exact Sciences in Antiquity. New York: Dover, 1969.

6. 更多关于古巴比伦算术的文献：IFRAH G. The Universal History of Numbers. London: Harvill, 1998. BARROW J D. Pi in the Sky. Oxford: Oxford UP, 1992. NISSEN H J, DAMEROW P, ENGLUND R K. Archaic Bookkeeping. London: University of Chicago Press, 1993.

7. DIEUDONNÉ J. “The Work of Nicholas Bourbaki”. American Math. Monthly 77, 1970: 134-145.

8. EUCLID, Elements VI, 31. 显然，如果每一项仅乘以π/2，用半圆代替正方形是正确的。

9. SENECHAL M. “The Continuing Silence of Bourbaki —— An Interview with Pierre Cartier”. The Mathematical Intelligencer, 1998(1): 22-28.

科学的画廊

——图片里的科学史

作者：[英]约翰·D.巴罗（John D. Barrow）

出版社：人民邮电出版社

出版时间：2022-06

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