数学里面求余数(数的运算之余数)

数学里面求余数(数的运算之余数)(1)

一.概念描述

现代数学:带余除法,亦称有余除法、不能整除的除法。已知两个数a、b(a是整数,b是正整数),要求两个整数q,r,使q,r满足以下条件:a=bq r(0≤r<b),则a被称为被除数,b被称为除数,q被称为不完全商(简称商),r被称为余数;当r=0时,称a被b整除,记为b l a,此时称b为a的因数或约数,a为b的倍数。在带余除法里,商(或不完全商)和余数(可能为0)都是唯一存在的。

小学数学:小学数学教材对此没有明确的定义,主要是通过分物品使学生了解到:平均分物品时,有时会出现有剩余的情况,这种情况也可以用除法来表示。分剩下的数在除法算式里叫“余数”,这样的除法是“有余数的除法”,进而理解有余数除法的含义。

二.概念解读

(1)余数的产生

“余数”是在“平均分物品”时出现剩余而产生的。随着数学研究的深入,“余数”的概念也有所发展和推广。

很久很久以前,人们以狩猎为生,可是有时猎物很少,必须把食物平均分开,否则,有人就会饿死。但是在分食物的时候,人们经常发现:每个人分到相同数量的食物以后,还会剩下一些,可是这些食物又不够再分一次,于是这就启发了后来的人们认识到数学除法运算中的余数。可见,“余数”是在人们的生活实践中自然产生的。

(2)“有余数除法”的地位与作用

在小学阶段,学生学习有余数除法, 一方面可以为后续的“一位数除多位数的除法”打下基础:另一方面,可以解决生活中与余数有关的实际问题。比如,解决周期问题(如学校开运动会,操场四周按“黄、红、绿、蓝”的顺序插彩旗,第15面旗子是什么颜色?)、买东西问题(如用40元钱买书,每本6元,最多可以买几本?)、租船问题(如25人要划船,每船限乘4人,至少要租几条船,)等。在解决问题的过程中,学生可以感受到数学与生活的联系。

“有余数的除法”不仅可以解决生活中与余数有关的实际问题,而且它也是研究整数性质的有力工具。整数理论就是在带余除法的基础上建立超来的。

随着数学更深入地发展,“带余除法”的概念推广到多项式的“带余除法”:对一元多项式环P(x)中任意两个多项式f (x)和g(x)≠0,一定存在P (x)中的多项式q(x)和r(x),使f(x)=g(x)

q(x) r(x)。式中r(x)=0或r(x)的次数小于g (x)的次数,并且q(x)与r (x)是唯一确定的,q(x)称为g(x)除除f(x)的商式,r (x)称为g(x)除f(x)的余式,g(x)称为除式,f(x)称为被除式;当r(x)=0时,称g(z)除尽f(x)。对已给多项式f (x),g(x)≠0,求商式q (x)与余式r(x)的方法称为带余除法。

从“带余除法”概念的发展与推广,可以看出“带余除法”是很重要的概念,是解决问题和进行理论研究的有力工具。

三.教学建议

(1)借助直观材料,丰富学生感知,促进理解“余数”含义

小学阶段,学生对于“余数”的认识,是借助于现实生活中“平均分物品时出现剩余”这一现实原型来学习的,因此,在教学中教师应该注意安排学生的动手操作和观察思考的活动,让学生在实践操作中充分感知,理解有余除法的意义。理解“余数必须比除数小”是学生认识上的难点。如果突破这一难点?陆友娉老师介绍了“妙用一捆小棒,从两个维度实现认知的突破”的案例。教师先让学生用一捆小棒搭正方形,发现余数总在1,2,3之间变化,完成了纵向探究(不同的数据对不同除数的探究);然让学生再猜想、验证用一拥小棒搭三角形、五边形,余数课能是几,进行横向探究(不同的数据对不同除数的探究);同时还要让学生举例说明“余数为什么不能等于或大于除数”。在丰富的感性材料的支撑下,学生再概括“余数必须比除数小”就水到渠成了。其实,不管采取什么方式突破这一难点,都要借助直观材料的支撑。

(2)积累活动经验,讲出心中故事,内化所学知识

理解了有余数除法的意义,还要会解决与余数有关的实际问题。在解决实际问题时,如何根据具体情况处理余数的问题是关键---什么情况下要考虑余数,用“进一法”得到结果?什么情况下不考虑余数,用“去尾法”得到结果?学生对此理解有一定的难度。关于如何让学生理解这些知识,李玲老师的做法很好。李老师在“用有余数的除法解决问题”一课中,引导学生解决这样一个问题:一辆车运送36名同学回学校,每次送5名同学,至少需要送几次?学生都会列算式36-5=7(次)……1(人),但是对至少送几次学生的意见不一致:有的认为是7次,有的认为是8次。那到底是几次呢?学生通过在点子图上圈一圈、现场模拟、头脑中“过电影”等方式理解为什么送8次。之后,李老师又让学生解决这样一道题:每瓶矿泉水5元,36元钱最多可以买几瓶?学生也列出了算式36-5=7(瓶)……1(元),进而通过交流,学生理解了最多买7瓶。然后通过进一步的练习,学生理解了什么情况下用“进一法”得到结果,什么情况下用“去尾法”得到结果。这些活动有利于学生积累解决问题的经验、积累思维活动的经验、积累与同伴交流的经验,有利于学生理解所学知识。为了帮助学生更好地理解如何利用余数处理问题,教师还可以设计“讲故事”的练习,如根据“13÷4=3……1”讲一个故事。在讲故事的过程中,学生就把数学与生活建立起联系,而这就是在内化自己的学习成果,就是在展现自己的学习效果。这种形式的练习,不仅可以促进学生内化所学知识,也有利于教师读懂学生。有了生活经验的支撑,当学生又能用生活中的情境解释这个算式时,他就真的明白了。

四.推荐阅读

《一捆小棒的妙用》(陆友娉,《小学数学教师》,2010年第1-2期)

该文就如何利用小棒让学生“理解余数必须比除数小”进行了详细的介绍,对广大一线教师有一定的指导意义。

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