初中数学格点与尺规作图方法（中考数学格点作图完全解析）

格点作图问题作为中考的新宠儿，自从登上中考试卷之后，迅速的在初中各年级考试当中铺开，并且难度有逐年加大的趋势. 借鉴了尺规作图的处理思路，我对格点做图进行了探讨，讲一些经验分享如下.

在正式开始格点作图的讨论之前，我们必须要树立这样的一个概念，正如尺规作图存在局限性一样，有著名的尺规作图三大不可能问题，格点作图也存在很大的局限性. 那么格点作图能处理哪些问题呢？他的局限性是什么呢？这便是我们要探讨的问题了.

第一次接触到格点作图的，会让你想到什么呢？

很多同学回答我说，想到了平面直角坐标系，但是格点作图和平面直角坐标系是迥然不同的两个东西. 格点作图的网格是“稀疏”的，平面直角坐标系的网格是“稠密”的. 如果我们也把格点作图的网格视作坐标系的话，那么借由无刻度直尺，我们只能在这个所谓的“格点坐标系”里面画出横纵坐标均为有理数的点，而在平面直角坐标系中，我们可以画出横纵坐标为任意实数的点.

和平面直角坐标系进行对比之后，我们便能很直观的认识到格点作图的局限性，即格点作图只能处理特殊的问题.

我不想用具体的题目去阐述格点作图能够解决哪些问题，不能解决哪些问题. 让我们做一些更加形而上的工作，从更抽象的角度解释下格点作图能够解决哪些问题.

在进行解释工作之前，我们先定义几个新的概念.

• 有理线段：单个网格长度视为1，若一条线段的长度为有理数，则称其为有理线段.
• 有 理 角：若一个角的正切值为有理数，则称这个角为有理角.
• 有理角度：有理角对应的角度即为有理角度.
• 倾 斜 角：在网格图中，直线l向上的方向与右边水平网格线的所成的夹角为倾斜角.
• 有理直线：若直线的倾斜角为有理角，则称这条直线为有理直线.
• 二阶有理角：角度本身为有理角，且其半角也是有理角.
• 有理网格线：距离格点水平距离为有理长度的且与网格线水平或垂直的直线

从线段和角度的视角

1. 格点作图能画出水平或竖直方向任意有理线段
2. 格点作图能画出任意有理角

从三大变换的视角

1. 平移：格点作图可以对任意点进行水平or竖直任意有理长度的平移
2. 对称：格点作图可以对任意点进行关于任意有理直线的对称操作
3. 旋转：格点做图可以对任意点进行任意二阶有理角的旋转操作

有了上述的总结，我们便可以轻松认识到哪些问题是无法使用格点做图去解决的，在此举几个简单的例子，比如画一个60度的角或者水平or竖直方向上画一个根号5长度的线段.

1. 水平or竖直方向上画任意有理长度

图1橙色线段为三分之一，图2橙色线段为四分之三

竖直方向有理长度画法同理易得，在此不做赘述

诀窍：利用相似和比例线段相关知识，综合使用“A型相似”或者“X型相似”.

1. 任意点关于任意有理网格线的对称点

上图为作点A关于绿色的有理网格线的对称点A'

竖直方向有理网格线的作法同理易得，在此不做赘述.

诀窍：两线相交可定点，故作直线关于网格线的对称来确定对称点，而直线的对称又通过特殊点关于网格线对称进行表述.

1. 任意点关于任意有理网格线的垂线或者平行线

上图为作点A关于绿色的有理网格线的垂线AA'

过点A作绿色网格线平行线的作法同理易得，在此不做赘述.

诀窍：对称点相连即可得平行or垂直

1. 任意二阶有理角的角平分线

上图为作有理角∠ABC的角平分线BD

诀窍：观察可知$\tan \angle ABC=\frac{3}{4}$，根据正切三角函数二倍角公式可得$\tan \angle CBD=\frac{1}{3}$

1. 平移：任意点进行水平or竖直方向上任意有理长度的平移

上图为作点A向右平移1个单位长度的点A'

竖直方向平移的作法同理易得，在此不做赘述.

诀窍：两线相交可定点. 根据(三)可作过点A的平行线，同时结合过点A的蓝色直线平移便可得到A'. 蓝色直线的平移转化成特殊点的平移.

1. 任意线段取任意有理等分点

上图为取任意线段AB的三等分点O

诀窍：由(五)可知，可作任意点关于任意有理长度在水平或者竖直方向的平移，所以取线段AB的三等分点构建X型相似即可. 点A往下平移1个单位长度变成A'，点B往上平移两个单位长度变成B'.

1. 对称：任意点进行关于任意有理直线的对称操作

上图为作点A关于绿色有理直线(倾斜角正切值为2)的对称点A'

其他有理直线的作法同理，在此不做赘述.

诀窍：两线相交可定点. 找到两个特殊的网格点，先做他们关于绿色有理直线的对称点，然后分别作这两个特殊点与A的连线，通过这两条连线的对称，来找到A的对称点.

1. 旋转：任意点进行任意二阶有理角的旋转操作

上图为将点A绕点O逆时针旋转α，且α=∠COD

诀窍：先做出∠COD的角平分线OE，然后作A关于直线OE的对称点K点，紧接着作K关于OC的对称点A'