高等数学常见泰勒公式（怎么证明我是我）

学过泰勒公式的朋友应该知道，多项式的泰勒公式其实就是它本身，但是如果要证明，却未必是一件容易的事情哦。老黄在这里就准备挑战这个看似无聊的证明。证明过程中，却可以对泰勒公式的本质，有一个更深入的理解。

这里所指的泰勒公式，是带有拉格朗日余项的泰勒公式，因为，这是一个定量公式，定量才能比较大小。带有拉格朗日余项的泰勒公式的一般形式如下：

f(x)=f(x0) f'(x0)(x-x0) f"(x0)(x-x0)^2/2! … f^(n)(x0)(x-x0)^n/n! f^(n 1)(x0)(x-x0)^(n 1)/(n 1)!. 其中Rn(x)=f^(n 1)(ξ)(x-x0)^(n 1)/(n 1)!称为拉格朗日余项。

设多项式的一般形式为Pn(x)=a0 a1x a2x^2 …… anx^n. a1, a2, …,an为常数，其中n虽然可以非常大，但并不是无穷大，而是一个定值。

在老黄的系列视频《老黄学高数》第185讲中，已经证明了泰勒多项式的系数Pn^(k)(x)/k!=ak, k=0,1,2,…,n。又Pn^(n 1)(0)=0. 最后这一点非常重要，因为它保证了拉格朗日余项等于0，使得“多项式的泰勒公式是本身”变得有可能。

不过，这里我们想要证明Pn(x)在任意点x0的泰勒公式都是它本身，还是非常麻烦的，所以我们先退而求其次，证明Pn(x)在x0=0的泰勒公式，即麦克劳林公式是它本身。

由Pn'(0)=a1, Pn"(0)=2a2, …, Pn^(k)(0)=k!ak, k=1,2,…,n，将各阶导数代入麦克劳林公式，就有：

Pn(x)=Pn(0) Pn'(0)x Pn"(0)x^2/2! … Pn^(n)(0)x^n/n! 0=a0 a1x a2x^2 …… anx^n.

这就证明了多项式的麦克劳林公式是它本身，并不是老黄的最终目标。老黄仍要尝试证明多项式的泰勒公式是它本身。注意，下面这个证明过程相当烧脑，希望您能够看得明白。

记y=x-x0, Pn(x)必可以写成另一个多项式Qn(x-x0)的形式，就等价于Qn(y)。而且Qn(y)在y=0的任意阶导数，会等于Pn(x)在x=x0的任意阶导数。这里的x0是任取的。

写出Pn(x)在x0的带拉格朗日余项的泰勒展开式，同时也是Pn(x)的泰勒多项式：

Tn(x)=Pn(x0) Pn'(x0)(x-x0) Pn"(x0)(x-x0)^2/2 … Pn^(n)(x0)(x-x0)^n/n!, 转换成关于Qn(y)的展开式，得到的就是麦克劳林展开式：

Qn(0) Qn'(0)y Qn"(0)y^2/2 … Qn"(0)y^n/n! 0，上面已经证明多项式的麦克劳林展开式是它本身，所以结果等于Qn(y)，又等于Pn(x)，从而得证！

只要您能看明白这个证明过程，泰勒公式的知识，对您来说，就不再有任何难度了。