高手来解数学题解题技巧（今天聊一聊数学解题中的）

也是公众号“世界重启”计划的第五十一篇。

棋有棋眼，文有文眼，题有题眼．棋眼，乃下棋的突破口，一旦占领棋眼，即可取得绝对性的优势；

文眼，则指文中最能揭示主旨、升华意境、涵盖内容的关键性词句，文眼往往奠定文章的感情基调，以及确定文章的中心；

而数学问题中的“题眼”泛指试题主要落点或解题的关键点。

从哲学的角度来看，就是抓住主要矛盾问题就一切问题就迎刃而解．数学解题和下棋、写文章一样，如果善于挖掘题眼，理解题眼，破解题眼，则会起到事半功倍，四两拨千斤之作用。

但在数学题中，“题眼”的确是真实存在的，甚至可以说是必然存在的，是数学解题的客观需要。

如果我们去分析一道数学题，不管是哪个阶段、什么题型，也无论难易程度，大抵都是分为条件和结论。

我们的解题过程，就是从条件入手，通过分析条件，得到一些小的结论，再把这些小的结论综合起来，再得出新的结论，这么循环往复、层次递进，进而得到最后的结论。

就像是一位攀岩高手，在陡峭的岩壁上寻找到一块块关键的落脚点，勾勒出一条直达峰顶的路径。

这条路径，就是我们所谓的思路。

既然是思路，那一定会有一条主线，会有一个起点，其他的条件都是依附于这一条主线，配合着这条主线来进行。

这条主线的起点，我们就称之为“题眼”，或者说是破题点。

题眼的发掘有时候很简单，一眼可见，但有时候却隐藏在纷繁复杂的条件中。

有时候你可以凭经验直觉一下找到，有时候却需要通过艰苦的思考才能捕捉得到。

有时候你发现了，却不知道如何下手。

今天，我们就结合着一些数学题目来聊一聊，如何发现题眼，如何通过题眼来解决问题。

这是一道二次函数问题，它的题眼是哪一个条件呢？

这里面二次函数的解析式，点的设置，都只是基础性的表述，唯一涉及到有数量关系，特殊关系的，只有一个条件，即三角形ABC为等边三角形。

但是这个条件我们如何切入呢？

首先基础性的知识一定要熟练扎实，比如等边三角形角的性质，边的性质，角的大小这些要立马能够想到。

这需要一定量的练习，比如每看到一道题目，都会主动分析每一个条件所对应的结论。这种方法在平几、立几问题的解题学习中特别有效。

其次是要对这种题型有一个方法论层次的认识，即这道题目的本质是要构造方程，解方程，而要想构造方程，就必须寻找等量关系，而等量关系就隐藏在等边三角形的性质中。

以上几点缺乏其中一点，要么找不到题眼，要么找到之后无法处理，要么无法得到最后的结果。

再比如这一道题目，也是一道二次函数的题目，应该是来自于小蓝书（初中卷）的一次函数与二次函数吧，记不太清楚了。

书归正传，因为涉及到符号，所以我把之前的分析截图发出来，大家可以看一下：

像这道题目的条件中，最显眼的无过于两个根的平方和，这个条件几乎对应着就是韦达定理。

这是知识储备层面。

另一方面，从方法论的角度，求参数范围就要构造不等式，而两个交点则意味着判别式要大于等于0，显然可以构造出不等式。

至于消元和参数范围的问题，属于解题的细节性问题。

题眼显然就在于两个根的平方和以及判别式要大于等于0。

通过这两个例子我们可以发现，题眼是客观存在的。

因为既然是题目，出题老师当然是希望学生能够解决的，既然这样，那么一定会留有线索，这就是题眼存在的必要性。

但出题老师又想通过题目有所筛选，考察出学生的能力和缺陷，那么自然不肯将题目的线索留的太过直白，这就是题眼的隐蔽性。

越是难的题目，题眼越隐蔽，综合性越强，往往是通过若干条件的分析综合，才能找到破门而入的方法。

而要想找到题眼，并且顺利的突破，作为学生要做到哪些呢？

除了个别的神仙题之外，大部分的题目都是遵循着一些常见的规律的，要想顺利的找到突破口，我们需要尽量做到以下几点：

基础要牢固，很多题目都有其对应的解法，很多题目的条件也都其对应的处理方法和结论，很多题目也都有其固定的套路和陷阱，这些知识一定要掌握扎实，有时候我们讲找到题眼并破题是一种玄学，是靠直觉。

其实一点都不玄，所谓的直觉也是千锤百炼后的条件反射而已。

模板要熟悉，模板就是固定的解题路径，大部分的题目套路虽然千变万化，但其背后的解题路径都是一致的，要学会套模板，这方面阐述的比较好的就是波利亚的怎样解题表，大家有兴趣的话可以看一看。

有了模板的好处就是可以依样画葫芦的解决很多问题。

我们都学过政治，比方法论更高一级的是世界观，那么在解题方面，比方法论高一档的是什么呢？

就是数学思想！

就比如我们今天举的这两道题目，看似不太一样，但实际上都运用了方程思想，寻找等量（不等）关系，构造方程（不等式），求值（范围），这比一般的套模板更适应千变万化的题目，也更容易找到隐藏在题目深处的题眼。

有诗云：不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层，便是如此。

做题越多，我越觉得解题是一件很有意思的事情，是解题人与出题人之间的一场游戏，有时候面对一道难题，苦思冥想之后，终于灵光一现想到一种做法，不仅会感叹出题人心思之巧，用心之工，颇有得一知己之感。

那题眼就仿佛是俞伯牙的高山流水，引导着我们这些知音去寻觅那高绝琴音中隐含的绝妙。

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