牛顿第一定律的公式和规律（牛顿刻在墓碑上的公式）

牛顿是著名的数学家和物理学家，我们知道他创立了经典力学，创造了微积分，可是他墓碑上刻着的唯一公式既不是关于牛顿力学，也不是关于微积分，而是大多数人可能并不知晓的一个公式：

1665年，伦敦爆发鼠疫，牛顿回到乡下躲避瘟疫，正是在这个时期他做出了平生最重要的几个成就，二项式定理、光的分解，万有引力，微分。这个公式刻在牛顿墓碑上足见它才是牛顿最引以为傲的成就，事实上，后来的微积分正是由牛顿二项式孕育而来。我们所熟知的二项式定理是在高中学习排列组合的时候接触的，

这里的n是正整数，这个公式用数学归纳法就可以证明。牛顿二项式是这个二项式的推广：

比较一下这两个式子，可以看到上面的式子展开后是有限项，下面这个展开后是无穷项，其实上面的式子展开后也可以写成无穷项，只不过后面的项系数全为零。如第n 2项：n*(n-1)*(n-2)* ... *1*0/(n 1)!。这样看来经典的二项式定理，就是牛顿二项式，也就是广义二项式定理的特殊情况。牛顿猜测出这样的展开式之后并没有给出证明，后来欧拉完善了这个证明，现在根据欧拉的方法来证明一下。

这里m是有理数，先证明f这个函数满足f(m)f(n)=f(m n)，回忆经典二项式定理，若a，b是正整数，则

这样f(a b)与f(a)f(b)同类项的系数一定相等，f(a b)的第（k 1）项为

f(a)f(b)的x^k这一项的系数为

由于f(a b)=f(a)f(b)，于是

这是一个恒等式，对于任意正整数a,b成立，牛顿二项式的推广本质来说是这个恒等式对于有理数也成立，甚至对实数、复数都成立。我们在扩充数域的时候保证了运算法则的兼容，也就是不管是整数、有理数、实数、复数，它们都满足加法和乘法的交换律、结合律，满足乘法分配率，于是既然这个恒等式在整数集成立，在有理数集必然也成立。

这样，对于有理数m,n，就有

于是：

有了它，后面的证明就简单了。先考虑正有理数的情况，设a,b是正整数：

对于负有理数，设p为负有理数，则f(p)f(-p)=f(p-p)=f(0)=1,这样f(p)=1/f(-p),前面已经证明了正有理数满足牛顿二项式，则