八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)

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八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(1)

01. 典型例题讲解

全等三角形判定的实际应用

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(2)

1、如图,公园里有一条“Z字形道路ABCD,其中AB∥CD,在AB,BC,CD三段路旁各有一个小石凳E,M,F,且BE=CF,M在BC的中点.试判断三个石凳E,M,F是否恰好在一条直线上?为什么?

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(3)

【答案与解析】三个小石凳在一条直线上证明:

∵AB平行CD(已知)

∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)

∵M在BC的中点(已知)

∴BM=CM(中点定义)

在△BME和△CMF中

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(4)

∴△BME≌△CMF(SAS)

∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等)

∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°(等式的性质)

∴E,M,F在同一直线上

【总结升华】对于实际应用问题,首先要能将它化成数学模型,再根据数学知识去解决. 由已知易证△BME≌△CMF,可得∠EMB=∠FMC,再由∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°得到E,M,F在同一直线上.

三角形的稳定性

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(5)

2. 如图是一种流行的衣帽架,它是用木条(四长四短)构成的几个连续的菱形(四条边都相等),每一个顶点处都有一个挂钩(连在轴上),不仅美观,而且使用,你知道它能收缩的原因和固定方法吗?

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(6)

【答案与解析】

解:这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性,可以根据需要改变挂钩间的距离。它的固定方法是:任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了。

【总结升华】要使物体具有稳定性,应做成三角形,否则做成四边形、五边形等等.

线段垂直平分线性质定理

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(7)

3、(2015春•荣县校级月考)如图,△ABC中,∠BAC=135°,点P、Q在边BC上,若MP和QN分别垂直平分AB和AC,并且AP=8,AQ=6,求BC的长.

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(8)

【思路点拨】由MP和QN分别垂直平分AB和AC,根据线段垂直平分线的性质,可得PA=PB,QA=QC,继而可得∠BAP ∠CAQ=∠B ∠C=180°﹣∠BAC=90°,再利用勾股定理计算出PQ的长,进而可求得答案.

【答案与解析】

解:∵MP和QN分别垂直平分AB和AC,

∴PA=PB,QA=QC,

∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,

∵∠BAC=135°,

∴∠BAP ∠CAQ=∠B ∠C=180°﹣∠BAC=45°,

∴∠PAQ=∠BAC﹣(∠BAP ∠CAQ)=90°.

∵AP=8,AQ=6,

∴PQ=

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(9)

=10,

∴BC=20.

【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.关键是正确计算出∠PAQ的度数,掌握勾股定理.

角平分线的性质定理应用

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(10)

4、如图,P为△ABC的外角平分线上任一点.求证:PB+PC≥AB+AC.

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(11)

【答案与解析】

证明:①当点P与点A不重合时,在BA延长线上取一点D,使AD=AC,连结PD.

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(12)

∵P为△ABC的外角平分线上一点,∴∠1=∠2

∵在△PAD和△PAC中

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(13)

∴△PAD≌△PAC(SAS),∴PD=PC

∵在△PBD中,PB+PD>BD,BD=AB+AD

∴PB+PC>AB+AC.

②当点P与点A重合时,PB+PC=AB+AC.

综上,PB+PC≥AB+AC.

【总结升华】本题利用角平分线的性质,在角两边取相同的线段,通过(SAS)构造全等三角形,从而把分散的线段集中到同一个三角形中.

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(14)

02. 举一反三练习

1.【变式】(2015春•龙岗区期末)小强为了测量一幢高楼高AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°,测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°,量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等,等于10米,量得旗杆与楼之间距离为DB=36米,小强计算出了楼高,楼高AB是多少米?

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(15)

2.【变式】如图,我们知道要使四边形木架不变形,至少要钉一根木条.那么要使五边形木架不变形,至少要钉几根木条?使七边形木架不变形,至少要钉几根木条?使n边形木架不变形.又至少要钉多少根木条?

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(16)

3.【变式】如图所示,DE是线段AB的垂直平分线,下列结论一定成立的是( )

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(17)

A.ED=CD B.∠DAC=∠B C.∠C>2∠B D.∠B ∠ADE=90°

4.【变式】如图,DC∥AB,∠BAD和∠ADC的平分线相交于E,过E的直线分别交DC、AB于C、B两点. 求证:AD=AB+DC.

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(18)

03. 参考答案解析

1.【答案与解析】

解:∵∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,

∴∠DCP=∠APB=54°,

在△CPD和△PAB中

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(19)

∴△CPD≌△PAB(ASA),

∴DP=AB,

∵DB=36,PB=10,

∴AB=36﹣10=26(m),

答:楼高AB是26米.

【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用,根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键.

2.【答案】要使五边形木架不变形,至少要钉2根木条;使七边形木架不变形,至少要钉4根木条;使n边形木架不变形,至少要钉(n-3)根木条.

3.【答案】D.

4.【答案】

证明:在线段AD上取AF=AB,连接EF,

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(20)

∵AE是∠BAD的角平分线,

∴∠1=∠2,

∵AF=AB AE=AE,∴△ABE≌△AFE,

∴∠B=∠AFE,

由CD∥AB又可得∠C+∠B=180°,

∴∠AFE+∠C=180°,

又∵∠DFE+∠AFE=180°,

∴∠C=∠DFE,

∵DE是∠ADC的平分线,

∴∠3=∠4,

又∵DE=DE,

∴△CDE≌△FDE,

∴DF=DC,

∵AD=DF+AF,

∴AD=AB+DC.

八下数学全等三角形判定(数学八年级上册)(21)

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