数小正方体的个数方法(正方体计数问题)

正方体的计数问题

数小正方体的个数方法(正方体计数问题)(1)

线、面、体

2020-02-04,女儿问我一个问题:一个7×6×4的长方体木块,在它的六个面都涂满油漆,然后锯成棱长都是1厘米的正方体木块,则锯成的木块中,三面涂色有几块?两面涂色有几块?一面涂色有几块?

2020-02-05,女儿问我一个问题:已知一个正方体木块涂上红色后,把它分割成若干个棱长都是1厘米的小正方体木块,有两面涂色的共108个,那么只有一面涂上红色的有多少块?

上面两个问题都是几何问题,需要一定的空间想象力。我们先来看看这样一个正方体,试着找规律。

数小正方体的个数方法(正方体计数问题)(2)

正方体的长宽高都相等

正方体是六面体,每个面都是正方形,有12条棱边和8个顶点,在图中能够看见的有三个面,前面(正面)、上面和右面。与之相对的另外三个面是后面、下面和左面。图中6×6×6的正方体由棱长都是1厘米的正方体木块组成。这个正方体共有6×6×6=216(块)小正方体木块。下图是对正面的小正方体木块的定义和分析。

数小正方体的个数方法(正方体计数问题)(3)

角块、棱块和中心块是源于魔方的概念

上图有6×6=36个小正方体木块。四个角的小正方体木块称为角块,用黄色表示,有三个外表面涂色;四条边有4×4个棱块,用蓝色表示,有两个外表面涂色;中心有4×4个中心块,用白色表示,有一个外表面涂色。

这个正方体有多少个角块呢?从正面看有4个角块,每个角块3面涂色,正方体有6个面,6÷3=2,所以正方体有4×2=8个角块。

这个正方体有多少棱块呢?先看下图。

数小正方体的个数方法(正方体计数问题)(4)

正方体的面、棱和顶点

看上图,可以清楚地数出正方体有六个面12条棱,所以答案就是4×4×3=48个棱块。第一个数字4表示一条棱边有4个棱块,第二个数字4表示一个面有4条棱边,第三个数字3表示6÷2=3。为什么要÷2呢?因为棱块两面涂色,所以要6÷2=3。

这个正方体有多少中心块呢?因为中心块只有一面涂色,所以正方体一个面有16个中心块,6个面就有6×16=96个中心块。

通过以上分析,我们已经找到规律了。正方体的角块等于4×2=8,棱块等于一个面的棱块数量乘以3,中心块等于一个面的中心块数量乘以6。我们只需要分析正方体一个面的角块、棱块和中心块,就知道了正方体6个面的角块、棱块和中心块。

掌握规律后,我们可以解题了。先看第一个问题。重新解读这个问题,它实际上问的是一个7×6×4的长方体木块,在它的六个面都涂满油漆,然后锯成棱长都是1厘米的正方体木块,则锯成的木块中,有多少角块?多少棱块?多少中心块?

我们分析一个面就能够解答了。角块有8个。棱块有点复杂,棱边分别有4块、6块和7块这三种类型,每种类型有4条棱边块。又因为每条棱边块需要减去两端的角块,所以应该按以下分类来计算:

第一种:(4-2)×4=8

第二种:(6-2)×4=16

第三种:(7-2)×4=20

以上合计44(块)

最后来看有多少中心块。需要分类讨论:这个长方体的6个面可以分为3种类型,每种类型两个面。

第一种:类型6×7,一个面中心块有4×5=20(块),两个面有20×2=40(块)

第二种:类型6×4,一个面中心块有4×2=8(块),两个面有8×2=16(块)

第二种:类型7×4,一个面中心块有5×2=10(块),两个面有10×2=20(块)

以上合计76(块)

题目解答完毕,该写答语了。

答:三面涂色有8块;两面涂色有44块;一面涂色有76块。

现在我们该来解答第二道题目了。题目已知正方体有棱块108个,求中心块有多少?

因为正方体有12条棱,所以一条棱边有108÷12=9(个),那么一个面就有9×9=81(个)中心块,6个面就有81×6=486(个)中心块。

答:只有一面涂上红色的有486块。

正方体不需要分类讨论,相对简单些。这个正方体的棱边有9个正方块,加上两端的角块就有11个正方块,从正面看这个正方体由11×11=121个小正方形构成一个面。

通过以上分析,我们找到规律后顺利解答出了这两道难题。同学们都学会了吗?欢迎留言讨论。

科学尚未普及,媒体还需努力。感谢阅读,再见。

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