三角恒等知识点（三角学的认识及其恒等式）

高中部分讲解了及其稀少的三角恒等变换，初略翻了一遍教科书，只论证了cos(α β)的等式变换，但实际上有许多恒等的三角变换，它们是在解决代数式替换有利的工具，本文在读者理解cos(α-β)=cosα cosβ sinα sinβ的基础上论证如何得出其它的恒等式。

首先要理解三角函数是怎么定义的，在直角坐标系的圆内一个直角三角形的斜边长为H，θ角对应的边为O，它的临边为A，则有下面的定义：

直角三角形三边形成的比

取一个单位圆，那么有：

单位圆上某点的坐标与角的关系

现在假定你已经有平面向量的基本知识，即矢量的数量积（点积）和矢量投影的概念，就可以很容易证明cos(α-β)=cosα cosβ sinα sinβ。如图：在单位圆中设OM，ON的向量为u，v，根据向量的点积定义

u.v=（i cosα j sinα）(i cosβ j sinβ)

= cosα cosβ sinα sinβ （1）

又因为根据u.v的物理意义代表力u（假设u是力）在v方向所作的功，只有余弦方向才做功，因此

u.v=IuI.IvIcos(α-β), 由于IuI=IvI=1. （2）

所以（1）=（2），故证明了cos(α-β)=cosα cosβ sinα sinβ （3）

单位圆两个矢量半径

现在我们根据（3）来陆续推导其它三角公式。首先要有一些基本的诱导公式,如下图：.

三角诱导公式

现在用诱导公式和(3)推导cos(α β)的公式

cos(α β)=cos［α (-β)］= cosα cos(-β) sinα sin(-β)= cosα cosβ-sinα sinβ

同理利用诱导公式可推导正弦的差和公式

sin(α β)= cos［(π/2-α)-β］=cos(π/2-α)cosβ sin(π/2-α)sinβ=sinα cosβ cosα sinβ

利用这种方法大家推导其它的两个角的和差恒等变换，这里给出公式：

和积公式

由上式很容易推导出倍角公式：

倍角公式

有时候还会用到由倍角变成单角的三角变换：

单角公式

由上面公式很容易求得半角公式，只要令θ=α/2带入即可：

半角公式

另外还会遇到积化和差的问题,这里给出一个推导过程:

其它自己按上述方法可证如下积化和差的公式：

积化和差

将上式中的α用（α β）/2代替, β用（α-β）/2代替后带入积化和差公式可得和化积差公式：

和化积差

至此我们已经列出了课本中没有列出的三角恒等式，我们利用诱导公式和证明得出的cos(α-β)=cosα cosβ sinα sinβ推导出了一系列公式，它们不需要死记硬背，忘了可以自己推导。

最后为了帮助大家记住cos(α β)=cosα cosβ-sinα sinβ 和sin(α β)=sinα cosβ cosα sinβ，讲个用联想的记忆方法。

说的是小明学习不用心，没有学好三角变换，挨了老师的训，东北话叫挨抠（即抠赛因cosin=cos）心情比较抑郁，一天没吃饭，减掉了很多肉（即cos(α β)展开的中间用减号）。后来老师教他方法怎么推导和记忆，他很快就学会了，他在操场上晒阳光（赛因sin开头），心情非常愉快，当天饭也吃多了，体重也增加了（即sin(α β) 展开的中间用加号）。