可导可微三者是什么关系(跟我聊一聊可微)

千呼万唤始出来,失踪人口重新回归啦,emmmm,我的上一期文章还是四个月前发布的,具体没更新的原因后续我会以个人的小故事发出来的,最近也许会高产一些。


之前跟大家讲过极限是数分最最基本的概念,有了它才会有后面那么多的可微、可导、连续等概念。注:本文只讨论一元微积分(多元微积分相比一元的要复杂得多,不仅要考虑每个分量,还要考虑到每个分量之间的联系)

其实大家在高中就已经学过导数的概念,当时是由变化率这个概念提纯出来的概念,在函数图像上也有着特殊的几何含义——斜率,所以可以通过函数图像来判断一个函数的导数是否存在,即是否可导或者可微。如下图所示:

高中函数 f(x) 导数的定义:

可导可微三者是什么关系(跟我聊一聊可微)(1)

可以这样理解,函数自变量 x 发生了一个小小的波动 Δx ,那么函数值的变化 f(x Δx)−f(x) 是否相比与自变量的波动 Δx 成线性呢?即 (常数) 是否成立,这里由于变化微小,所以考虑极限定义,如果这个极限存在那么就将它定义为函数 f(x) 在该点的斜率,在几何上,也是切线与 x 轴非负半轴方向夹角的正切值(如上图所示)。

到了大学,定义几乎没变,只是对于条件或许更严格、更专业化而已。如下:

至此,大家也许会有疑问,本文题目一开始就提出了两个概念,可导vs可微,可微又是什么呢?


可微可以说是从是另一个方面说明函数变化率的概念,分析步骤差不多,如下:

函数自变量 x 发生了一个小小的波动 Δx ,那么函数值的变化 Δy=f(x Δx)−f(x) 是否相比与自变量的波动 Δx 成线性呢?即 Δy=kΔx(k为常数) 是否成立,跟上面差不多,换成了乘积形式,但是对于数学这却是两种完全不同的形式,这里由于变化微小,所以同样地考虑极限的定义,而且那些微小的不影响函数主要线性部分的因素不应该被忽略,所以会写成

那么可微的准确定义来了

是这样的,可微呢,可积这一套我们都是学习西方的,是英文翻译过来的。学到后面,你会发现,其实数学上的东西,线性的一般是最简单的,一般都很好研究,但是自然界或者实际中,很多东西往往都是非线性的,所以我们需要对它在极其微小处进行微元线性处理(物理上很多东西都是这样搞出来的),这也就是我们为啥定义微分要取主要线性部分,你再想想现实中,地球是球体,但是你生活的那一小点就是平面啊,也就类似进行了线性化处理。

所以基本从推导形式上就可以看出,对于一元函数这两个定义等价。接下来我们严格推理一下

必要性: 可导⇒可微

充分性: 可微⇒可导

好的,综上所述,我们基本完成了对于一元函数可微与可导的总结概述。

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