错误的素数分布规律(素数分布之道qer诠释素数分布)

素数分布之道(原创彭秋年)内容简介:㈠创建能量参照法生成素数分布新论;㈡论各种奇素数组合的分布;㈢论偶数u的素数分解对的分布;㈣论幂函数中的素数分布;㈤论梅森素数的分布.,我来为大家讲解一下关于错误的素数分布规律?跟着小编一起来看一看吧!

错误的素数分布规律(素数分布之道qer诠释素数分布)

错误的素数分布规律

素数分布之道(原创彭秋年)

内容简介:㈠创建能量参照法生成素数分布新论;㈡论各种奇素数组合的分布;㈢论偶数u的素数分解对的分布;㈣论幂函数中的素数分布;㈤论梅森素数的分布.

关键词:能量参照法、素数分布新论.

㈠、创建能量参照法生成素数分布新论.

首先陈述素数定理:如果以q表示自然数s以内的素数数量,则q=s/㏑s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算更精确)

当s足够大时,显然满足:

(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集.

且令:s以内集合X中大于2的元素依次是x₁,x₂…xₙ;定义s以内集合X中元素的能量和为e=1/㏑x₁ 1/㏑x₂… 1/㏑xₙ.

则有:s以内集合N中元素的能量和e、素数数量q均接近于s/㏑s,即q=e=s/㏑s.

以集合X={x|x=3a 1,(a∈N)}为例展开论述.

且令:集合X、N中与pᵢ互素的元素的分布比例分别为yᵢ、zᵢ. (i∈N,p₀=2,i>0时,pᵢ表示第i个奇素数)

则有:i=1时,y₁=1,z₁=2/3;

i≠1时,yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ;

集合X、N中与p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别为y₀y₁…yᵢ、z₀z₁…zᵢ.

且令:rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有:r₀=1;i>0时,rᵢ=1/(2/3)=3/2.

分析:s以内集合X中的元素相对于集合N中的元素,它们成为素数的能力强度其参照值是r=3/2;简述为集合X存在参照常数r=3/2.

且令:s以内集合X中元素的能量和为e.

则有:e=s/(3㏑s).

分析:s以内集合X中的素数数量q等于能量和e与参照常数r之积,即q=er=s/(2㏑s).

以此类推

且令:P={全体素数};

X={x|x=pa y,(a∈N)}.

(p∈P;y=1,2…p-1)

则有:p、y确定时,s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/[(p-1)㏑s].

且令:P₀=P∩X.

则有:s以内集合P₀、P中元素数量分布之比为1/(p-1).

定义:使用能量和e与参照值r的概念对素数分布进行分析探讨的方法称为能量参照法.

素数定理与能量参照法结合为素数分布新论.

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集;集合X中与pᵢ、p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别为yᵢ、y₀y₁…yᵢ. (i∈N)

且令:zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ;rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

如果存在n使得:i>n,所有的rᵢ都接近于r;则称集合X存在参照常数r.

且令:s以内集合X中元素的能量和为e,素数元素的数量为q. (s足够大)

则有:q=er.

㈡、论各种奇素数组合的分布.

①、将奇素数组合分为两种类型.

类型一、非动态素数链.

如果序列U={u₁,u₁ u₂,… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以某个奇素数p,所得互异的正整数余数为1,2…p-1.

(uᵢ为正偶数,i=1,2…n)

且令:序列A={a,a u₁,a u₁ u₂,… a u₁ u₂… uₙ}. (a为奇素数)

则有:序列A中至少有一个数能够被p整除.

当序列A中的元素均为素数时,则称其为加u₁加u₂…加uₙ型素数链(或非动态素数链).

序列A中的元素包含p时才有可能均为素数,使得序列A能够包含p的a值数量有限.

因此,任一型号的非动态素数链数量有限.

类型二、动态素数链.

如果序列U={u₁,u₁ u₂,… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以任意的素数p,所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

(uᵢ为正偶数,i=1,2…n)

且令:序列A={a,a u₁,a u₁ u₂,… a u₁ u₂… uₙ}. (a为奇素数)

当序列A中的元素均为素数时,则称其为加u₁加u₂…加uₙ型素数链(或动态素数链).

且令:a,a a₁,a a₂,…a aₙ₋₁均为素数. (2≤n<a,2≤a₁<a₂…<aₙ₋₁)

则有:a₁,a₂,…aₙ₋₁除以任意的素数p,所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

故a,a a₁,a a₂,…a aₙ₋₁是动态素数链.

由此可知:任意n(n≥2)个互异且大于n的奇素数均可组成一条长度为n的动态素数链,几乎所有的奇素数组合都属于动态素数链.

②、以序列A={5,7,11,13}为例展开论述.

序列A={5,7,11,13}中相邻素数的间距依次是u₁=2,u₂=4,u₃=2.

且令:P={全体素数};

Qᵢ={x|x=a-2i,(a∈P)}. (i=1,2,3,4)

且令:Rᵢ=P∩Qᵢ;S₁=R₁∩R₃;

S₂=R₂∩R₃;S₃=R₁∩R₄;

S₄=R₃∩R₄;T=R₁∩R₃∩R₄.

则有:R₁={3,5,11…};R₂={3,7,13…};

R₃={5,7,11…};R₄={3,5,11…};

S₁={5,11,17…};S₂={7,13,37…};

S₃={3,5,11…};S₄={5,11,23…};

T={5,11,101…}.

[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)分别由全体加2i型素数链的第一个元素组成;集合S₁、S₂、S₃、S₄分别由全体加2加4、加4加2、加2加6、加6加2型素数链的第一个元素组成;集合T由全体加2加4加2型素数链的第一个元素组成]

已知:s以内素数的分布密度是1/㏑s.

因此,s以内集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的分布密度同样是1/㏑s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此,s以内集合Qᵢ(i=1,2,3,4)中元素的能量和为e=(s/㏑s)(1/㏑s)=s/㏑²s.

已知集合Q₁={x|x=a-2,(a∈P)}={0,1,3…}.

且令:集合Q₁中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ. (i∈N)

则有:y₀=1;i>0时,yᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1).

且令:zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ;rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则,

rᵢ={(1/2)(3/4)(5/6)…[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}可化为式B与式B'如下:

式B、

rᵢ=[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}[pᵢ/(pᵢ-1)].

式B'、

rᵢ=(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][pᵢ/(pᵢ-1)]}.

式B中 pᵢ/(pᵢ-1)>1;

[(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ₋₁/(pₘ₋₁-1)]>1.

(m=2,3…i)

因此,

rᵢ>[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(pᵢ-2)/(pᵢ-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.

式B'中 [(pₘ-2)/(pₘ-1)][pₘ/(pₘ-1)]<1.

(m=2,3…i)

因此,rᵢ<(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(p₍ᵢ₋₁₎-2)/(p₍ᵢ₋₁₎-1)][p₍ᵢ₋₁₎/(p₍ᵢ₋₁₎-1)]}.

经计算,rᵢ=2,1.5,1.406,1.367,1.354…

当i=253时,1.3196<rᵢ<1.3204;

随着i的不断增大,rᵢ→1.3203236…

因此,rᵢ→1.320(精确到千分位).

即,集合Q₁存在参照常数r=1.32.

因此,s以内集合Q₁中素数数量分布的计算公式是q=er=1.32s/㏑²s.

同理可证:集合Q₂,Q₃,Q₄的参照常数依次是1.32,2.64,1.32.

因此,s以内加u(u=2,4,6,8)型素数链[集合Rᵢ(i=1,2,3,4)中元素]数量分布的计算公式依次是1.32s/㏑²s,1.32s/㏑²s,2.64s/㏑²s,1.32s/㏑²s.

且令:X={x|x=pa y,(a∈N)};P₁=X∩R₁.

[p∈P,y∈N,0<y<p,y≠pa-u(u=2)]

则有:p、y确定时,s以内集合P₁、R₁中的元素数量分布之比为1/(p-2).

(p=2时,用1代替p-2)

且令:

R₁'={x|x=a 6,(a∈R₁)}={9,11,17…}.

已知:s以内集合R₁中元素的分布密度是1.32/㏑²s. 因此,s以内集合R₁'中元素的分布密度同样是1.32/㏑²s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此,s以内集合R₁'中元素的能量和为e=(s/㏑s)(1.32/㏑²s)=1.32s/㏑³s.

且令:集合R₁'中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ. (i∈N)

则有:y₀=1,y₁=1;i>1时,yᵢ=(pᵢ-3)/(pᵢ-2).

且令:zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ;rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

经计算,rᵢ→2.165(精确到千分位).

即,集合R₁'存在参照常数r=2.165.

因此,s以内集合R₁'中素数数量分布的计算公式是q=er=2.86s/㏑³s;即,s以内加2加4型素数链(集合S₁中元素)数量分布的计算公式是2.86s/㏑³s.

同理可证:s以内加4加2、加2加6、加6加2型素数链(集合S₂、S₃、S₄中元素)数量分布的计算公式都是2.86s/㏑³s.

且令:X={x|x=pa y,(a∈N)};P₂=X∩S₁.

[p∈P,y∈N,0<y<p,y≠pa-u(u=2,6)]

则有:p、y确定时,s以内集合P₂、S₁中的元素数量分布之比为1/(p-3).

(p=2,3时,用1代替p-3)

关于rᵢ的计算谨作论述C(标识C备用):

在计算rᵢ→1.32(n=1)及rᵢ→2.165(n=2)的过程中发现,n为任意正整数时,rᵢ={…[(pᵢ-n-1)/(pᵢ-n)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(pᵢ-1)/pᵢ]}都能够类似地化为两个式子,且使得:一个式子里面从某一项开始,后面连续相乘的各项均趋近1且不小于1;另一个式子里面从某一项开始,后面连续相乘的各项均趋近1且不大于1.

因此,n为任意正整数,rᵢ都将趋近于常数.

且令:

S₁'={x|x=a 8,(a∈S₁)}={13,19,25…}.

经计算,集合S₁'存在参照常数r=1.451.

已知:s以内集合S₁中元素的分布密度是2.86/㏑³s. 因此,s以内集合S₁'中元素的分布密度同样是2.86/㏑³s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此,s以内集合S₁'中元素的能量和为

e=(s/㏑s)(2.86/㏑³s)=2.86s/㏑⁴s.

因此,s以内集合S₁'中素数数量分布的计算公式是q=er=4.15s/㏑⁴s;即,s以内加2加4加2型素数链(集合T中元素)数量分布的计算公式是4.15s/㏑⁴s.

且令:X={x|x=pa y,(a∈N)};P₃=X∩T.

[p∈P,y∈N,0<y<p,y≠pa-u(u=2,6,8)]

则有:p、y确定时,s以内集合P₃、T中的元素数量分布之比为1/(p-4).

(p=2,3时,用1代替p-4)

关于公式系数(例4.15)的计算谨作论述C':

且令:序列U={u₁,u₁ u₂,u₁ u₂ u₃}中的元素(即2,6,8)除以素数pᵢ,所得互异的正整数余数为tᵢ个. (i=0,1…m)

且令:a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1);

b=p₀p₁…pₘ;d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).

则有:m足够大时,

ab³/d⁴=1.32*2.165*1.451=4.15.

③、以②类推论各种动态素数链的分布.

如果序列U={u₁,u₁ u₂,… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以任意的素数p,所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

(uᵢ为正偶数,i=1,2…n)

则有:s以内加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链数量分布的计算公式是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

综合论述C、C',系数cₙ的计算方法如下:

且令:序列U中的元素除以素数pᵢ,所得互异的正整数余数为tᵢ个. (i=0,1…m)

且令:a=(p₀-t₀-1)(p₁-t₁-1)…(pₘ-tₘ-1);

b=p₀p₁…pₘ;d=(p₀-1)(p₁-1)…(pₘ-1).

则有:m足够大时,

cₙ=abⁿ/dⁿ⁺¹=n个常数之积=常数.

当㏑s>n 1时,cₙs/㏑ⁿ⁺¹s是一个增函数,其值域为无穷大;因此,加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链存在无穷多条.

继续探讨

经分析整理,n为正整数,可得以下结论:

1、s以内加2加4…加2n型动态素数链数量分布的计算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

2、s以内连续n个加u型动态素数链数量分布的计算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s. (令与偶数u互素的最小素数为p,n≤p-2)

3、s以内加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链数量分布的计算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s.

[uₐ=mᵃ(m-1),(m-1∈N ,a=1,2…n)]

4、假设区间[n,2n)(n>2)内存在t个素数,则该t个素数是一条长度为t的动态素数链;假设任意连续的n个自然数中,最长的动态素数链包含y个素数;n确定时,理论上能够通过有限个步骤的计算得到确定的t、y(且t≤y).

5、如果素数链的第一个元素在s以内,则定义该素数链在s以内;当n确定、s足够大时,(n 1)s以内每s个连续的自然数中接近存在s/㏑s个素数;因此,s以内加u₁加u₂…加uₙ(uᵢ≤s,i=1,2…n)型动态素数链的数量总和接近于(s/㏑s)ⁿ⁺¹;因此,这些素数链数量分布的计算公式的系数总和接近于sⁿ.

[依据系数cₙ的取值规律同样可证(略)]

关于动态素数链伸展性与对称性的简论.

且令:序列U={u₁,u₁ u₂,… u₁ u₂… uₙ}中的元素除以素数p,所得互异的正整数余数为a个;序列V={mu₁,m(u₁ u₂),…m(u₁ u₂… uₙ)}. (n、m∈N )

则有:m被p整除时,序列V中的元素均被p整除;m与p互素时,序列V中的元素除以素数p,所得互异的正整数余数同样为a个.

且令:序列W={uₙ,uₙ uₙ₋₁,… uₙ uₙ₋₁… u₁};序列U中的元素除以素数p,所得余数依次组成序列X={x₁,x₂,…xₙ};序列W中的元素除以素数p所得余数依次组成序列K={k₁,k₂,…kₙ}.

则有:xₙ=kₙ;(xᵢ kₙ₋ᵢ)除以p得到余数xₙ.

(i=1,2…n-1)

因此,序列X、K中互异的正整数数量相等.

综合而论动态素数链的基本性质如下:

任一型号的动态素数链在自然数中的分布具有无穷性、谐和性、伸展性、对称性.

无穷性是指任一型号的动态素数链其数量都是无穷的.

谐和性是指任一型号的动态素数链都对应一个公式,其数量的分布状态接近于该公式的增长趋势. 同时存在更深层次的谐和性,且令全体加u₁加u₂…加uₙ型动态素数链的第一个元素组成集合P';且令X={x|x=pa y,(a∈N)};[p∈P,y∈N,0<y<p,y≠pa-u(u=u₁,u₁ u₂,… u₁ u₂… uₙ),p对应k个y值];Pₙ=P'∩X;则当p、y确定时,s范围内集合Pₙ、P'中元素数量分布之比为1/k.

伸展性是指将任一型号的动态素数链其相邻素数的间距统一放大到m(m∈N )倍,即可得到m倍间距型号的动态素数链,s以内两者数量分布之比为常数.

对称性是指对于任一型号的动态素数链,都将存在与其相邻素数的间距对称的动态素数链,s以内两者数量分布之比为1.

㈢、论偶数u的素数分解对的分布.

且令:u(u>1000)为偶数;√u以内存在m个奇素数;X={x|x=u-a,(a∈P,a<u)}.

且令:集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ;zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ;

rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ). (i=0,1…m)

则可推出rᵢ→r;u=2ⁿ(n∈N)时,r=1.32;

u存在奇素因数d₁,d₂…dₓ时,

r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)].

每个偶数u都对应一个参照常数r.(r≥1.32)

经分析,s(s≤u/2,s的下限<<u/2)以内集合X中元素的分布密度是1/㏑u.

又(s/㏑s)/(1/㏑3 1/㏑4… 1/㏑s)→1.

因此,s以内集合X中元素的能量和为

e=s/(㏑s㏑u).

因此,s以内使得a、u-a均为素数的a值数量分布的计算公式是q=er=rs/(㏑s㏑u).{偶数u>1000,s≤u/2,s的下限<<u/2;u=2ⁿ(n∈N)时,r=1.32;u存在奇素因数d₁,d₂…dₓ时,r=1.32[(d₁-1)(d₂-1)…(dₓ-1)]/[(d₁-2)(d₂-2)…(dₓ-2)]}

当s=u/2时,可得偶数u的素数分解对数量的计算公式是rs/(㏑s㏑u)≈ru/(2㏑²u).

(u较小时,用㏑u-1.08代替㏑u计算)

依据该公式判断哥德巴赫猜想成立.

㈣、论幂函数中的素数分布.

①、论一次函数(等差数列)中的素数分布.

以集合X={x|x=10a 1,(a∈N)}为例展开论述.

且令:集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ;zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ. (i∈N)

则有:10的素因数为p₀=2、p₂=5,对应y₀=y₂=1;i≠0、2时,yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ.

且令:rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有:i>1时,rᵢ=1/[(1/2)(4/5)]=5/2.

即,集合X存在参照常数r=5/2.

简述:10以内有4个正整数(1,3,7,9)与10互素,对应集合X存在参照常数r=10/4=5/2.

s以内集合X中元素的能量和为e=s/(10㏑s).

因此,s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/(4㏑s).

以此类推

且令:X={x|x=ma n,(a∈N)};

m以内有u个正整数与m互素.

(m,n为互素的正整数,m>n)

则有:集合X存在参照常数r=m/u;s以内集合X中元素的能量和为e=s/(m㏑s).

因此,s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/(u㏑s).

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

②、论二次函数中的素数分布.

以集合X={x|x=a² 1,(a∈N)}为例展开论述.

且令:集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ. (i∈N)

则有:y₀=1/2;pᵢ=4c 1时,yᵢ=(pᵢ-2)/pᵢ;pᵢ≠2、4c 1时,yᵢ=1. (c∈N)

又,4以内共有2个正整数(1,3)与4互素.

因此,s以内有1/2的pᵢ=4c 1.

且令:zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ;rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有:i>167时,rᵢ→1.36…

即,集合X存在参照常数r=1.36.

s以内集合X中元素的能量和为e=√s/㏑s. 因此,s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=1.36√s/㏑s.

以此类推

且令:A={x|x=a² n,(a∈N};

B={x|x=a² a n,(a∈N};

C={x|x=(a² a)/2 n,(a∈N}.(n∈Z)

则有:n确定时,s以内集合A、B、C中素数数量分布的计算公式都是q=er=rₙk/㏑s.

[k表示s以内集合X(X=A,B,C)中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算]

集合A的参照常数rₙ的计算方法如下:

1、n=-b²(b∈N)时,集合A的表达式能够进行因式分解,rₙ=0.

2、n≠-b²(b∈N)时,令|4n|以内存在2u个正整数与|4n|互素,集合A的正元素中包含的与|4n|互素的素因数除以|4n|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b₁,b₂…bᵤ};

当pᵢ整除|4n|时,令tᵢ=1;当pᵢ=|4n|c bᵥ时,令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1);当pᵢ不能整除|4n|且pᵢ≠|4n|c bᵥ时,令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1);s以内有1/2的pᵢ=|4n|c bᵥ;i足够大时,rₙ=t₀t₁…tᵢ=常数.(i∈N,c∈N,v=1,2…u)

另外,如果m=nb²(b∈N );b不存在与|4n|互素的奇素因数,则rₘ=rₙ;b存在与|4n|互素的奇素因数d₁,d₂…dₓ,当dᵢ=|4n|c bᵥ时,令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2),当dᵢ≠|4n|c bᵥ时,令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ,则rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x;c、bᵥ同上)

例如:

n=7时,|4n|=28,28以内存在12个正整数与28互素,集合A的正元素中包含的与28互素的素因数除以28所得互异的余数(有且仅有6个)组成序列B={b₁,b₂…b₆}={1,9,11,15,23,25};

28的素因数为p₀=2、p₃=7,令t₀=t₃=1;当pᵢ=28c bᵥ时,令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1);当pᵢ≠2、7、28c bᵥ时,令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1). (i∈N,c∈N,v=1,2…6)

又,s以内有1/2的pᵢ=28c bᵥ;

经计算,i>167时,r₇=t₀t₁…tᵢ=1.96…

因此,集合A={x|x=a² 7,(a∈N}的参照常数为r₇=1.96.

经粗略计算,r₁=r₄=1.36,r₂=r₈=0.71,r₃=0.78,r₅=0.52,r₆=0.71,r₇=1.96,r₀=r₋₁=r₋₄=0,r₋₂=r₋₈=1.89,r₋₃=1.38,r₋₅=1.78,r₋₆=1.04,r₋₇=0.75.

(连续足够多个rₙ的均值为1)

集合B的参照常数rₙ的计算方法如下:

1、n为偶数时,集合B中的元素均为偶数,rₙ=0.

2、n为奇数时,令|4n-1|以内存在2u个正整数与|4n-1|互素,集合B的正元素中包含的与|4n-1|互素的奇素因数除以|4n-1|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b₁,b₂…bᵤ};

当pᵢ整除|4n-1|时,令tᵢ=1;

当pᵢ=|4n-1|c bᵥ时,令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1);

当pᵢ不能整除|4n-1|且pᵢ≠|4n-1|c bᵥ时,令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1);s以内有1/2的pᵢ=|4n-1|c bᵥ;i足够大时,rₙ=2t₁t₂…tᵢ=常数. (i∈N ,c∈N,v=1,2…u)

另外,如果|4m-1|=|4n-1|b²(b为正奇数);b不存在与|4n-1|互素的奇素因数,则rₘ=rₙ;b存在与|4n-1|互素的奇素因数d₁,d₂…dₓ,当dᵢ=|4n-1|c bᵥ时,令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2),当dᵢ≠|4n-1|c bᵥ时,令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ,则rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x;c、bᵥ同上)

经粗略计算,r₁=1.56,r₀=r₋₂=r₂=0,r₃=1.01,r₋₁=3.43,r₋₃=1.61.

(连续足够多个rₙ的均值为1)

集合C的参照常数rₙ的计算方法如下:

1、n=-(b² b)/2(b∈N)时,集合C的表达式偶数项与奇数项能够分开进行因式分解,rₙ=0.

2、n≠-(b² b)/2(b∈N)时,令|8n-1|以内存在2u个正整数与|8n-1|互素,集合C的正元素中包含的与|8n-1|互素的奇素因数除以|8n-1|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b₁,b₂…bᵤ};

当pᵢ整除|8n-1|时,令tᵢ=1;

当pᵢ=|8n-1|c bᵥ时,令tᵢ=(pᵢ-2)/(pᵢ-1);

当pᵢ不能整除|8n-1|且pᵢ≠|8n-1|c bᵥ时,令tᵢ=pᵢ/(pᵢ-1);s以内有1/2的pᵢ=|8n-1|c bᵥ;

i足够大时,rₙ=t₁t₂…tᵢ=常数.

(i∈N ,c∈N,v=1,2…u)

另外,如果|8m-1|=|8n-1|b²(b∈N );

b不存在与|8n-1|互素的奇素因数,则rₘ=rₙ;b存在与|8n-1|互素的奇素因数d₁,d₂…dₓ,

当dᵢ=|8n-1|c bᵥ时,令kᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2),

当dᵢ≠|8n-1|c bᵥ时,令kᵢ=(dᵢ-1)/dᵢ,

则rₘ=rₙk₁k₂…kₓ. (i=1,2…x;c、bᵥ同上)

经粗略计算,r₁=1.98,r₀=r₋₁=0,r₋₂=2.35,r₂=1.24.

(连续足够多个rₙ的均值为1)

综合而论

s以内集合X={x|x=k₂a² k₁a n,(a∈N}中素数数量分布的计算公式是q=er=rₙk/㏑s.

(k₂∈N ,k₁∈Z,n∈Z,k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

集合X的参照常数rₙ的计算方法如下:

1、集合X的表达式能够进行因式分解或者所有元素都被某个素数整除时(例如k₁、k₂为奇数,n为偶数时,所有元素都被2整除),rₙ=0.

2、当集合X不符合上述第1条;k₁为偶数时,令A={x|x=a² k₂n-k₁²/4,(a∈N)};k₁、k₂、n均为奇数时,令B={x|x=a² a k₂n-(k₁²-1)/4,(a∈N)};k₁为奇数、k₂为偶数时,令C={x|x=(a² a)/2 k₂n/2-(k₁²-1)/8,(a∈N)};当k₂=2ᵐ(m∈N)时,令b=1;当k₂存在奇素因数d₁,d₂…dₓ,dᵢ(i=1,2…x)整除k₁时,令bᵢ=dᵢ/(dᵢ-1),dᵢ与k₁互素时,令bᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2),令b=b₁b₂…bₓ;则rₙ等于集合X对应的集合(A,B,C三者之一)的参照常数值乘以b.

(k₁,k₂不变,连续足够多个rₙ的均值为1)

③、论m次函数中的素数分布.

且令:X={x|x=kₘaᵐ kₘ₋₁aᵐ⁻¹… k₁a n,

(a∈N)}. (m、kₘ∈N ;n、k₁…kₘ₋₁∈Z)

则有:s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=rₙk/㏑s.

(k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

集合X的参照常数rₙ的计算方法如下:

1、集合X的表达式能够进行因式分解或者所有元素都被某个素数整除时,rₙ=0;否则,按2、3条计算,rₙ>0,集合X中素数无穷多.

2、集合X中的正元素除以pᵢ所得余数呈现周期性分布规律,周期长度为pᵢ;每个素数都对应一个余数周期,这些周期内最多有m个0,最少则无0,平均为一个0;令pᵢ对应的余数周期中有dᵢ个元素与pᵢ互素;令tᵢ=dᵢ/(pᵢ-1);

i足够大时,rₙ=t₀t₁…tᵢ=常数. (i∈N)

3、第2条是关于集合X的rₙ值的直接计算法,前面计算表达式为二次函数的集合X的rₙ值用的是间接计算法,关于计算表达式为二次以上函数的集合X的rₙ值的间接计算法尚待探讨.

(m,k₁…kₘ不变,连续足够多个rₙ的均值为1)

另外,当集合X的表达式中某些项的系数不为整数时,如果集合X中的正元素分布符合上述第2条,则集合X的rₙ值计算方法同上.

㈤、论梅森素数的分布.

型如2ᵃ-1(a∈N )的素数称为梅森素数.

且令:集合X={x|x=2ᵃ-1,(a∈N )}

={1,3,7,15,31,63,127,255…}.

且令:集合X中的元素依次是x₁,x₂,x₃…

则有:xₙ₊₁=2xₙ 1;xₘₙ=2ᵐⁿ-1=(2ᵐ-1)

[2⁽ⁿ⁻¹⁾ᵐ 2⁽ⁿ⁻²⁾ᵐ… 2ᵐ 1]. (n、m∈N )

因此,n为合数时,xₙ同样为合数.

且令:集合X中的元素除以某个奇素数p所得余数依次组成序列K={k₁,k₂,k₃…}.

则有:kₙ≠p-1;

2kₙ 1<p时,kₙ₊₁=2kₙ 1;

2kₙ 1≥p时,kₙ₊₁=2kₙ 1-p.

因此,序列K中互异的元素小于p个,连续p个元素中将存在相同的元素.

且令:kₙ=kₘ. (n<m,m-n<p)

则有:kᵢ=k₍ᵢ₊ₘ₋ₙ₎. (i∈N )

因此,序列K中的元素存在周期性分布规律;其周期长度小于p,周期内的元素互异,第一个元素是1,最后一个元素是0.

当m∈P,n∈N 时,集合X中的元素满足:当且仅当m=2时,第mn个元素能被3整除;当且仅当m=3时,第mn个元素能被7整除;当且仅当m=5时,第mn个元素能被31整除;当且仅当m=7时,第mn个元素能被127整除;当且仅当m=11时,第mn个元素能被23、89整除 …

分析整理,可按下述方法设定:

1、当集合X中被pᵢ(pᵢ=5,11,13,17,19…)整除的所有元素都能够被某个小于pᵢ的素数整除时,这些素数对应yᵢ=1.

2、当pᵢ(pᵢ=2,3,7,23,31…)不是第1条中括号内的素数时,且令集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ.

则有:yᵢ=1或者yᵢ=(p-1)/p.

(p∈P,p<pᵢ,所有yᵢ≠1的值互异)

且令:zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ;rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有:所有的rᵢ>1. (猜测i足够大时,rᵢ→2)

经计算,s以内集合X中元素的能量和为e=㏑㏑s/㏑2;因此,s以内梅森素数的数量接近或大于㏑㏑s/㏑2;存在无穷多个梅森素数;如果猜测成立,则s(足够大)以内梅森素数的数量接近于2㏑㏑s/㏑2.

同理可证:

s以内斐波那契数列中的素数数量接近或大于1.5㏑㏑s/㏑g. [g=(1 √5)/2=1.618]

后记(厚寄)

十年磨一剑,使命在心间。开创新理论,照见无穷远。学术路漫长,真理待检验。全网觅知音,携手共发展。

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