复合函数实际解析式（复合函数有凹凸性法则吗）

很多人想知道，复合函数有没有凸性法则。没错，这个法则的确是存在的。但它的局限性也比较强。只有当外函数单调增，且外函数和内函数有相同的凸性时，复合函数的凸性才能被确定。

即：在外函数单调增的前提下，如果内函数和外函数在各自对应的定义域上上凸，那么复合函数就上凸；如果内函数和外函数在各自对应的定义域上下凸，那么复合函数就下凸。其中外函数的定义域包含内函数的值域。复合函数的定义域和内函数的定义域相同。下面老黄把它当作一道证明题来证明。

若f为I上的凸函数，g在J(f(I)⊂J)上递增，且凸性相同.

证明： g◦f在I上有相同的凸性.

分析：证明凸性，都是在定义域上任取两点x1,x2，和一个小于1的正数λ。通过证明：上凸则任两点之间的曲线在割线上方，下凸则任两点之间的曲线在割线下方，并用通过定义的不等式来表示出来的。

证：设x1,x2为I上的任意两点, λ∈(0,1)，

若f上凸, 则f(λx1 (1-λ)x2)≥λf(x1) (1-λ)f(x2),

f(λx1 (1-λ)x2), λf(x1) (1-λ)f(x2)∈f(I)⊂J, 且g在J上递增，

∴g(f(λx1 (1-λ)x2))≥g(λf(x1) (1-λ)f(x2)),【如果g递减，就不会有下面的递推不等式关系】

又g在J上上凸，∴g(λf(x1) (1-λ)f(x2))≥λg(f(x1)) (1-λ)g(f(x2)),

∴g(f(λx1 (1-λ)x2))≥λg(f(x1)) (1-λ)g(f(x2)),【这是两个不等式递推的结果】

即(g◦f)(λx1 (1-λ)x2))≥λ(g◦f)(x1) (1-λ)(g◦f)(x2),

∴g◦f为I上的上凸函数.

若f下凸, 则f(λx1 (1-λ)x2)≤λf(x1) (1-λ)f(x2),

f(λx1 (1-λ)x2), λf(x1) (1-λ)f(x2)∈f(I)⊂J, 且g在J上递增，

∴g(f(λx1 (1-λ)x2))≤g(λf(x1) (1-λ)f(x2)), 【可能直观会觉得，上凸时外函数单调增，下凸时外函数就单调减。事实并非如此哦，不论上凸还是下凸，都是要求外函数单调增的，这样才会有下面的递推不等式关系成立】

又g在J上下凸，∴g(λf(x1) (1-λ)f(x2))≤λg(f(x1)) (1-λ)g(f(x2)),

∴g(f(λx1 (1-λ)x2))≤λg(f(x1)) (1-λ)g(f(x2)),【同样是两个不等式递推的结果】

即(g◦f)(λx1 (1-λ)x2))≤λ(g◦f)(x1) (1-λ)(g◦f)(x2),

∴g◦f为I上的下凸函数.

因此，不论f,g同为上凸函数，还是f,g同为下凸函数，只要g单调增，就有复合函数g◦f在I上有相同的凸性. 得证！

结论：外函数单调增，且内外函数在各自的定义域上凸性相同时，复合函数有相同的凸性.

例：内函数f(x)=x^2在R上下凸；外函数g(x)=e^x在[0, ∞)上下凸且单调增；∴y=e^(x^2)是R上的下凸函数. 观察函数的图像，你能理解其中的原理吗？

如果你能够说明y=e^(2x)的凸性. 就说明你已经理解其中的原理了。

这次以g(x)=e^x为内函数，它在R上是下凸的；以f(x)=x^2，它在g(x)的值域(0, ∞)上下凸且单调增；∴y=e^(2x)是R上的下凸函数.

也可以理解为f(x)=2x是内函数，它在R上是一条直线，直线即可以理解为上凸函数，也可以理解为下凸函数，而g(x)=e^x又成了外函数，它在R上是下凸且单调增的，∴y=e^(2x)是R上的下凸函数. 函数的图像如下：

但是如果不能同时满足外函数单调增，和内外函数凸性相同，这两个必要条件，就无法用复合函数的这个凸性法则来判断了。比如函数y=e^(-x^2)，它就无法同时满足这两个条件，因此，我们并无法用这个法则来判断它的凸性。不过我们仍有其它办法来确定它的凸性区间，这些方法，老黄在其它作品都有过介绍。

不论什么知识，在会用的人手里，都会很有用的。不过这个法则，应该有不少人无法很好地应用它。因为它的应用性并不会非常广泛。对大多数人来说，可能只是用它来加深对凸函数的性质的理解的吧。