一个存在已久的数学猜想被解开了（这些极有可能成立的数学猜想）
只差一步
就成为了定理
上期回顾：五大蒙蔽你的数学假象（传送门），今天继续！
1
The Strong Law ofSmall numbers 论文中提到的一些例子节选
论文其实就是要表明一个观点：You cannot tell by looking.
A.费马数：
若
证：
假设
为不为1的正整数
所以
那么反过来是不是每一个2的幂对应一个素数呢，著名民间科学家费马发现
(求教Latex怎么左对齐……)
前5个是质数，因为第6个数实在太大了，费马认为是质数。
1640年费马猜想：
(费马没给出证明……)
反例：
1732年擅长计算的Euler给出
注：
之后人们利用计算机一口气算到了n=46以后，发现n大于4小于47时，Fn都是合数
目前只知道n=0,1,2,3,4时，F(n)是素数
甚至有人猜想，n>4时，F(n)均是合数…（还没有反例）
费马如果能看到，他的表情一定是：
B.梅森素数
如果
但是若n是素数，一定是素数么？
计算一下，当n=2,3,5,7时是对的
反例：
注：本来并不想写出这个梅森素数，因为这个反例并不巨大，但是其很著名，同时也反映了一些问题。
寻找梅森素数一直是一个有趣的课题，是否存在无穷多个梅森素数仍然是数论中未解决的著名难题之一。
C.
但是，
D.
考虑数列
可以求出
猜想：
事实上，这对n<30均成立
反例：
证明如下：
得到递推式后，两边同时模43,如果是整数，那么两边会不同余
对于更多数列和素数上的巧合那就数不胜数了，可参见论文中更多例子
可见猜想虽然很多时候从直觉出发，但是因为从有限枚举的情况不能推出无穷种情况都成立，然而人类处理的数字公式和数列越来越多的时候，那么就会自然而然出现巧合了，
因为只有1个1,1个2,1个3,1个4,1个5,1个6,1个7,……却有无穷个数列和无穷多个数学问题，所以各种巧合很有可能发生，但是由于计算能力有限我们往往枚举过程中探知不到矛盾。
E.
如果用计算机去从1开始一个个验证，那么计算机是无法发现反例的
(很有可能运行超时)
其实对于1亿亿内的n都可以成立这个命题
但是这真的对所有n成立麽？
反例：
第一个出现在
2
佩尔方程
很多时候知道一些数学知识后，才能轻易地解决一些看似很复杂的东西。
假定你不知道佩尔方程的理论，那么关于方程
的正整数解的存在性，
你可能会先试探下一些某些较小的数字，如
来试图得到一些解，可是无功而返。
由于
x,y在1~10000之间时是否能够得到解
（省略程序）
然而还是无功而返。
如果我告诉你，在x或y小于一万亿的范围内方程还是没有正整数解！
而
而
你是否会
猜想：
方程没有正整数解
反例：
且这是方程最小正整数解
注：
好了……这个正整数解肯定不是靠遍历跑出来的，计算机也吃不消
其实只要计算
若是偶数，则
否则
证明参考任何一本讲述了Pell方程的初等数论书籍或者wiki
Pell方程即形如
事实上我们可以证明，Pell方程一定有无穷多组正整数解，这是初等数论一个经典结果。
可见：
很多时候一些对小数验证的猜想不一定对大数成立。
这就是为什么很多关于否定方程的正整数解的命题（如费马大定理）不能通过验证较小的整数达到证明目的（如1万亿以内），比如这个Pell方程，其在x,y小于一万亿的范围内也是没有解的，但是它有解而且有无穷多正整数解。
这恰好说明了发展数学理论的重要性，比如Pell方程其理论与连分数算法都是经过研究得到的(Lagrange有重要贡献)，而不是单纯的枚举法。
再注：
阿基米德群牛问题
论阿基米德为什么要带那么多牛来到西西里岛……
3
不知道具体数字的反例
数论中一个非常漂亮的结果就是素数定理：
即对正实数
素数定理是说：
一个直观的理解就是当N充分大时，在1到N之间任取一个数，其是素数的概率大概为
这个结果等价于
其中
(不难证明积分存在且有限)
第二个等价成立的原因可以用洛必达法则证明
问题来了：
既然，那么
下面有一组数据
第一列为n的值，第二列为
似乎总有第二列对应值＜第三列对应值
猜想：
这个猜想确实是Reasonable的，上面写的那些等价无穷大的结论都是对的。
并且我们有了很多类似的结果如
(当x大于55)
(当x大于355991)
哪怕我们能找到一个确定的N，使n>N时有
我们就可以对n在1-N之间有限的情况验证即可
（这种技巧在数论证明中真是屡见不鲜，有限情况都靠计算机即可）
反例：
John Edensor Littlewood 1914年证明了这样的n一定存在
使得
All numerical evidence then available seemed to suggest that π(x) was always less than li(x). Littlewood's proof did not, however, exhibit a concrete such numberx他还进一步证明了在会无穷多次变号
注：
接下来该我们的Stanley Skewes 出场了
Stanley Skewes 何许人也？
南非数学家，Littlewood 的学生之一，Littlewood是他的研究生导师，肯定当时给了他这个题目让他做……
Stanley Skewes于1933年证明了存在一个自然数n，n小于使得
不过他用到了黎曼猜想是正确的这个假设
当年他34岁……
Stanley Skewes于1955年证明了存在一个自然数n，n小于使得
不过这次他摆脱了黎曼猜想是正确的这个假设，可谓真正的证明了上界的存在性。
当年他56岁…
现在，我们用Skewes' number表示最小的自然数n使得
现在有更好的估计 Skewes' number比小
但是可见它还是很大，所以计算机不能很好地计算出它（计算能力还是不够……）
但是它还是很小的，如果和葛立恒数相比，它远远小于葛立恒数
本文由超级数学建模编辑整理
本文转载于陆ZZ（知乎）
转载请在公众号中，回复“转载”
-----这里是数学思维的聚集地------
“超级数学建模”（微信号supermodeling），每天学一点小知识，轻松了解各种思维，做个好玩的理性派。30万数学精英都在关注！
▼点击「阅读原文」，获取理工男必备神器！
,
免责声明：本文仅代表文章作者的个人观点，与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实，对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺，请读者仅作参考，并自行核实相关内容。文章投诉邮箱：anhduc.ph@yahoo.com
