如何很快学会三角函数的诱导公式（任意角的三角函数与诱导公式）

梳理了前面三角基本概念，单位制，扇形与弧长公式，相信大家对三角的学习有了一个好的开始，要想真正的理解三角函数的内涵，还需要从一些口诀来入手，今天我们就来谈谈三角函数和诱导公式；

第一、三角函数的定义

三角函数的定义分初中（锐角三角比）高中（任意角三角函数），不同的学习阶段，对应不同的领悟层次需要。高中阶段主要研究的是正余弦正切函数，因此这三者定义以及函数图像及性质需要完全透彻的理解。

这些三角函数值在各个象限的符号如下图所示，

记忆的过程中可以结合三角函数函数线的定义以及动态来观察角α变化的过程中三角函数线的增长趋势。

第二、三角函数线

角α的三角函数值可以用单位圆的有向线段表示：sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT.

有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线。

对于三角函数线的认知，我们需要关注以下几点：

（1）结合象限角以及有向线段在各个区间内分别讨论，而且需要注意三角函数线中的字母顺序不可颠倒，与坐标轴方向一致的有向线段为正，此时相应的三角函数值为正，与坐标轴方向相反的有向线段为负，对应的三角函数值为负。

（2）当角α的终边在x轴上时，正切线、正弦线变为一个点，角α的终边在y轴上时，余弦线变为一个点，正切线不存在。

（3）若果0<α<π/2，则sinα<α<tanα，sinα cosα>1。

第三、同角三角基本关系式

针对同一个角，结合三角比的定义，我们会发现，他有如下三种关系：

针对上述正六边形，结合6个三角比，我们借助：“上弦，中切，下割，左正，右余，中间1”，这十三字，我们可以很快做好定位，不清楚的同学，可以评论区里留言。

具体如何应用这正六边形辅助记忆呢？

首先我们来看平方关系，上图3个红色阴影部分，大家可以视为3个倒三角，上底边的2个三角比的平方之和等于下底角的平方。

其次我们来看商数关系，看相邻三点，如下图，再结合上图，无论ABC,还是ABF，底边上的2个端点之任意一个端点，都等于中间顶点去除另外一个底点，如：tanα=sinα/cosα，cosα=sinα/tanα，secα=tanα/sinα，cscα=secα/tanα等等；

最后我们再看倒数关系，我们来找正六边形的对角线，对角线的两个端点的乘积就是中间1，构成了我们的倒数关系。

以上3个点，我们也可以用一段话来诠释：

对角线上两函数之积为1，任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积，阴影三角形，顶角的两个函数的平方和等于底角函数的平方。

熟悉了同角三角关系式，在应用的过程中，我们还需要注意以下几点：三角函数值间的知一求二，或者求式子的值；化简三角函数式，证明三角恒等式等等。

第四、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限

看了上图的表格，相信大家依然懵懂，不要紧，我们看看这个奇和偶，他是针对π/2，而言的，符号看的是左边原始式子，对于α，无论大小，均视为锐角，了解了这些，相信大家对于以下式子理解起来倍感轻松。

最后就诱导公式在强调一下这个变，指的是正余弦互变，正余切互变。

第五、学法指导

我们在学了这些知识之后，针对他们的题型主要有如下三种：

第一、求值题型，已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值；

这类问题，我们需要关注，角的象限或者终边位置已知，只有一解，角的象限或者终边需要判断；也或者，角的三角函数值含有字母，亦或是另一角的三角函数来表示，我们的解法是合理选择公式，一般思路是按照：“倒-平-倒-商-倒”的顺序很容易求解；在开平方的时候，应注意“±”的取舍，有时根据需要分类讨论。

第二、化简题型，目的是简化运算，要求项数尽量少，次数尽量低，尽量不含分母，尽量不带根号，尽量为数值。

以上是原则要求，需要关注的是，化简过程中，不要忽视三角函数的定义区间。

第三、证明题型，本质上是三角恒等式。

常用方法是：

1、从一边开始，证的另一边，由繁到简。

2、左右归一，证明左右两边都等于同一个式子。

3、凑合法，针对题设与结论间的差异，有针对性的变形，以消除差异，即化异为同。

4、比较法，即证明“左边-右边=0”,或者“左边÷右边=1”

5、分析法，从被证的等式出发，逐步探求使等式成立的充分条件，一直到已知条件或者明显的事实为止，就可以断定原等式成立。

常用的技巧：

1、负角化正角，大角化小角，化异为同，常用诱导公式；

2、切割化弦，弦切互化；

3、1的代换，1=sin²α cos²α=sec²α-tan²α=csc²α-cot²α=tanπ/4；

4、消元和降次；

5、sinα±cosα、sinαcosα，三个式子中，已知其中一个式子，可求其他两个式子，他隐藏一个条件是：弦的平方和为1。

以上是任意角的三角函数与诱导公式，熟练记忆透彻理解，就在这些口诀上和要点上，相信大家熟读以上，必定会为三角的学习奠定坚实的基础。加油！

就以上知识，大家不清楚的地方欢迎大家评论区留言，大黄必将竭尽全力为您解答。感谢！

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