高数第二章导数与微分知识点总结（数学笔记-同济第七版高数）

求：lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3如果按照等价无穷小来替换的话，我来为大家讲解一下关于高数第二章导数与微分知识点总结?跟着小编一起来看一看吧!

高数第二章导数与微分知识点总结

求：lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3

如果按照等价无穷小来替换的话

tanx~x, sinx~x

所以

lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3

=lim(x->0)(x-x)/x^3

=0

这是错误的用法

因为分子分母不同阶，用等价无穷小来替换的话“精度”不够，所以会造成错误

正确的解法是：

lim(x->0)(tanx-sinx)/x^3

=lim(x->0)[tanx(1-cosx)]/x^3

=lim(x->0)tanx/x*lim(x->0)(1-cosx)/x^2

=1*1/2

=1/2

从上面的题目可以看出对于0/0型求极限用等价无穷小替换有局限性

因此引入了求(0/0型)极限的方法：洛必达法则

二、洛必达法则

1、0/0型

若：(1)f(x),g(x)在x=a去心邻域内可导且g'(x)≠0

(2)lim(x->a)f(x)=0, lim(x->a)g(x)=0

(3)lim(x->a)[f'(x)/g'(x)]=A

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