顶角140度的等腰三角形图形（经典再现14顶角为20）

已知等腰三角形ΔABC中，AB=AC=b，BC=a，∠A=20°，求证：a^³ b^³=3ab^².

分析：欲证a^³ b^³=3ab^²，就是寻找a、b之间的关系式。因此，设法找出或构造特殊的三角形或相似三角形。由已知，等腰三角形顶角20°，所以底角为80°，因为80°减去20°等于特殊角60°，因此，把底角∠ABC分为一个20°和一个60°角，经尝试，作∠CBD=20°较好。

证明：作∠CBD=20°，BD交AC于D（如图）.

因为AB=AC，∠A=20°，

所以∠ABC=∠C=80°，

所以∠ABD=60°，∠BDC=80°，

所以∠BDC=∠B=80°，

所以BD=BC=a，ΔBCD∽ΔABC，

所以BC/AB=CD/BC。

即a/b=CD/a，

所以CD=a^²/b。

在ΔABD中，

AD=AC-CD=b-a^²/b=(b^²-a^²)/b，

∠ABD=60°，AB=b，

由余弦定理，得

AD^²=AB^² BD^²-2AB•BD•cos∠ABD，

即[(b^²-a^²)/b]^²=b^² a^²-2ba•cos60°，

去括号、去分母，得

b^⁴-2a^²b^² a^⁴=b^⁴ a^²b^²-ab^³，

整理，得

a^⁴ ab^³=3a^²b^²，

两边除以a，得

a^³ b^³=3ab^².