直角三角函数题型（直角三角形抛物线）

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50.如图，Rt△MNP中，斜边MP=5，MN=3，点M（0，t）在y轴上运动，点N，P在直线x=3上，以直线x=3为对称轴的抛物线

y=－1/3x^2＋bx＋c过点R（t＋3，0），

若上述抛物线与线段MP始终有交点Q.

（1）求t的取值范围；

（2）若存在Q（x0，y0），

使得点M的位置唯一确定，求此时t的值.

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【每日一题49】分析解答（原题见页底“了解更多”链接）

图1

图2

思路

（1）如图1，证明∠2=90°即可.

（2）如图1，利用勾股定理和30°直角三角形的三边关系建立方程，搞定！

（3）如图2，发现全等三角形，相似三角形，利用勾股定理和线段之间的相等关系建立方程，搞定！

实操

（1）如图1，矩形MNPQ

=＞∠3＋∠4=90°且∠1=∠4

=＞∠1＋∠3=90°且∠1＋∠2＋∠3=180°

=＞∠2=90°=＞PR与⊙O相切

（2）如图1，矩形MNPQ

=＞∠A=90°且∠MRS=30°，MS=2QS，

设QS=x，则MS=2x，MQ=3x，

SR=4x，MN=nMQ=3xn

由勾股定理MR=2（根号3）x，

RN=3xn－2（根号3）x

=（3n－2（根号3））x

tan∠1=tan30°=＞SM：MR=1：根号3

=＞（3n－2（根号3））：3=1：根号3

=＞n=根号3.

（3）如图2，当PQ与⊙O相切时，设T为切点，

连TO延长交MN于U，则TU⊥PQ，TU⊥MN.

∠1=∠4 ∠M=∠N=90°

=＞Rt△MRS∽Rt△NPR 且SR=PR

=＞Rt△MRS≌Rt△NPR

=＞MR=PN 且SM=RN

同理Rt△MRS∽Rt△URO

=＞相似比=OR：RS=r:2r=1:2

=＞设OU=m，则SM=2m，UT=r＋m

=＞MR=PN=UT= r＋m，SM=RN=2m

RN=MN－MR

=＞2m=n（r＋m）－（r＋m）……（1）

由勾股定理 SR^2－SM^2=MR^2

=＞（2r）^2－（2m）^2=（r＋m）^2

……（2）

联立（1）（2）解得

r=5/3m 且 n－1=2m/（r＋m）

n－1=3/4=＞n=7/4.

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