代数基本知识（代数基本定理）

代数的基本定理

在前面一篇文章中谈到代数的余数定理，即

如果多项式f (x)被（x – k）相除, 那么余数是 f (k).

即有f(x)=(x-k)q(x) r,把x=k带入此式有：

f(k)=r ,这就是余数定理。如果没有余数，那么多项式就是整除的，那么就有根的概念。这就是与代数的基本定理有关。

根据余数定理，若余数为零，那么x-k就是多项式f(x)的一个根，因为f(x)=(x-k)q(x),这就是因式定理，即当且仅当（x-k）是f(x)的一个因式，那么k是多项式的f(x)=0的一个解。

例如多项式f(x)= − 6 − x 30. 假如x=-2,带入f(x)中，即有f(-2)=0,根据余数定理和因式定理有f(x)=(x 2)q(x),随后将其因式分解（可用余数定理那篇文章的方法做除法）得f(x)= (x 2)(x − 3)(x − 5)， 这说明多项式f(x)= − 6 − x 30有三个根。

对于实系数的一元多项式f (x) = ... x ，其中系数a1,a2,…an全部是整数，它若有实根，那么这个根的形式为p/q, p是a0的因数，q是an的因数，

例如：f (x) = 2 − 4 − 4. 其中a0=-4, a4=2,可能的 p/q=-4/2,4/2, 2/2, 2/1, 等等， 实际上x=2就是它的一个实根，因为

f (x)=（x-2）(2x3 x 2)

在复数域内，有下面定理。

代数基本定理：

任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）.

根据代数基本定理有：

f (x) = a(x − c1)(x − c2)...(x − cn)， 其中c1, c2, …..cn是复数。A是个实数。

由代数基本定理我们知道，多项式f(x)的最高阶数是n,那么f(x)=0就有n个复数解。这个解不一定是虚数，因为可能是实数，而实数是复数的子集，所以说n个复数解是包含实数的。现在我们知道 1=0可以有四个解， =1可有三个复数解。（虽然在实数范围只有一个解）。

如果多项式有虚根，一定是共轭的，即成对出现。

代数基本定理的证明有多种，有趣的是在很多数学分支中都有它的证明。