数学故事及典故（34读）

文化自信具体指什么?简单来说，它的含义为:对自身文化价值的充分肯定和积极践行，并对其文化的生命力持有的坚定信心。

会突然想到这个词，则是因为下午在家看了《国家宝藏》节目，在被《千里江山图》 和张国立先生口才惊艳的同时，油然而生一股自豪。我们的文明一脉相传，在千百年岁月中经历重重磨难，即使留白也不曾断裂，是任何其他国家都无法与之相比的。

李汝珍，清代人，是个"学无所不窥"的才子，可能是学问钻研多了，所以官场上却甚不得意。他写了好几本书，《镜花缘》是流传最广的一本，可以说是一部百科全书式，包罗万象的小说，上至天文，下知地理，以及医药、生物、园艺、音韵、文学、灯谜……一应俱全，无所不包，在这部小说中也曾出现过跟数学有关的情节与故事，读来耐人寻味。

比如说，我们如今所做的算术题吧，在《镜花缘》中就曾出现过。此书中描写了一位精通算学的才女"矶花仙子"名叫米兰芬。正如鲁迅所说，《镜花缘》是一部"与万宝书相邻比"的奇书，期待它给我带来的思维与心灵上的盛宴！

1. 铺地锦

该书第七十九回里就有一段求圆周长的题目。有几位小姐妹聚在一起谈论数学。其中一位名叫青钿的，指着面前的圆桌，问道：“请教姐姐，这桌周围几尺？”被问的人叫做米兰芬，她向身边的宝云要过一把尺来，量出圆桌面的直径，是三尺二寸。然后取笔画了一个“铺地锦”，画完后，回答说：“此桌周围一丈零零四分八。”（1米=3尺，1丈=10尺，1尺=10寸） （1米=3尺，1丈=10尺，1尺=10寸）

这里涉及到"铺地锦"是一种计算两数乘积的方法。据说，这种方法最早出现在印度古代数学家婆什伽罗的《丽罗娃提》一书中。公元12世纪以后，广泛流传于阿拉伯人聚居的地区。其后又通过阿拉伯人传入欧洲，并很快在欧洲流行。15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中曾介绍过这种方法，当时叫做"格子乘法"。

传入中国以后也很风行，并受到明朝数学家程大位的青睐，把它吸收进了名著《算法统宗》中去，并改名为"铺地锦"。

它的方法是这样的．首先，画出方格和斜线，然后，在画好的格子里记入相应的数字，再根据记录好的数用乘法口诀进行计算．因为计算完了以后，形如我国古代织出的锦缎．因此我国的劳动人民给这种计算格式起了一个很形象的名字——"铺地锦"．

程大位在《算法统宗》中谈到了"写算"，也就是"铺地锦"。程大位喜欢用歌诀的形式表述算法。"写算歌"是这样的 ：

写算铺地锦为奇，不用算盘数可知。

法实相呼小九数，格行写数莫差池。

记零十进于前位，逐位数数亦如之。

照式画图代乘法，厘毫丝忽不须疑。

下面，让我们以648×37为例加以说明。（当时的记法为六四八乘以三七，不难看出，其实没有多大差别）根据被乘数和乘数的位数画一个长方形，将被乘数自左至右写在长方形的顶上，再将乘数自上至下写在长方形的右边，并用四条斜线把长方形分开（见图1）：

将被乘数与乘数的每一位数都相乘，并将其积写在相应的小方格里，十位上的数记在上面的三角形中，个位上的数则记在下面的三角形里（见图2）：

从右下角开始沿着斜行将各数相加，满了十就向前面相邻的斜行进位，把每一斜行相加的结果写在长方形外面相应的"斜行"处（见图3）：

最后，自上而下，从左到右地读出这五个数字所组成的多位数，其乘积为二三九七六，换成通常的写法，即：648×37=23976。

为了交代得比较详细，我们先后画了三个图。实际上，做到熟练之后，只要画一个图就行了，反正是草图，画的马虎一点也不要紧，实际上所花的时间同普通乘法相差无几。因而许多人认为，只要在书写形式上再加以简化和改进，即使时至今日，铺地锦算法仍有其一定的存在价值。你能用铺地锦的方法算出123×45的积吗？"照式画图"就是：

铺地锦作为一种笔算形式，在计算器已经相当普及的今天，显然没有什么实用价值，不过，作为一种数学文化，还是会给人们带来一些乐趣和思考的。

2. 楼上楼下的四种灯各有多少盏？

书中第九十三回"百花仙即景露禅机，众才女尽欢结酒令"中有着一大段文字，描写米兰芬巧算灯球的故事，历来引人注目。宗伯府的女主人卞宝云邀请众才女到府中观灯。只见楼上楼下，大小灯球无数，五彩缤纷，光华灿烂，宛如列星，令人目不暇接，然而也是高低错落，很难点数。楼下的灯有两种：一种是上有1个大球，下有2个小球；另一种是上有1个大球，下有4个小球。共有大球360个，小球1200个。楼上的灯则更加别致。一种是上做3个大球，下缀6个小球，计大小球9个为一灯；另一种是上做3个大球，下缀18个小球，计大小球21个为一灯。共有大球396个，小球1440个。问：楼上、楼下各有彩灯多少？

米兰芬说：缀六个小灯球的灯数为78。她是这样算得至于楼上的灯，小球数折半，就相当于把灯改制成"每灯三个大球，下缀三个小球"和"每灯三个大球，下缀九个小球"这两种。如果都是前一种灯，则大小灯球数应相等。现小球数为720（=1440÷2），大球数396，多出324个小球。是因为每盏第二种灯小灯球多出6个的原因，从而用324÷6＝54，即其中有54盏第二种灯，第二种灯共用大灯球162个，故第一种灯用大灯球234个，除以3得78，就是第一种灯数了。

米兰芬的解法借用的鸡兔同笼的古人求解策略，这里说的"鸡兔同笼"法，是指的我国古代的一种类型题目，比如在一个笼中关有鸡与兔，数头有100个，数脚有240只。问鸡、兔各有多少？

对此题，有一个简单巧妙的算法，就是：如果让鸡都缩起一只脚，"金鸡独立"站着；让兔子全部抬起二只前腿，只用二只后腿站着，这时，再数脚数，就应是240除以2，得120只脚。

如笼中全是鸡，由于此时数鸡时，每只鸡都是一头一脚（另一脚缩起来了）。故100只鸡应只有100只脚，现在却有120只脚，多的20只脚是那儿来的呢？原来每只兔子都要多数1只脚，这就说明兔子数是20，而鸡数则是80。

现在你明白了米兰芬的算法了吧！比如说楼下的灯，一大球下缀二小球，就相当于"一只鸡有二只脚"，一大球下缀四小球就相当于"一只兔有四只脚"。所以，用"鸡兔同笼"之法就算清楚了。

朋友，如果换了你来解决这道题，你又会怎么做呢？下方留言说一说把！

3. 请判断这一天是星期几

小说《镜花缘》中有一段林之祥与多久公飘洋过海的故事。有一天他们来到了"两面国"，却忘记了这一天是星期几。迎面见了"两面国"里的牛头和马面。他们知道，牛头在星期一、二、三说假话，在星期四、五、六、日说真话；马面在星期四、五、六说假话，在星期一、二、三、日说真话。牛头说："昨天是我说假话的日子。"马面说："真巧，昨天也是我说假话的日子。"请判断这一天是星期几。

我们分析一下，因为牛头、马面只有星期日都说真话，其它时间总是一个说真话，另一个说假话，所以这一天不是星期日，否则星期六都说假话，与题意不符。

由题意知，这一天说真话的，前一天必说假话；这一天说假话的，前一天必说真话。推知这一天同时是牛头、马面说假话与说真话转换的日子。因为星期二、三、五、六都不是说假话与说真话转换的日子，所以这一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛头由说真话变为说假话的日子，但不是马面由说假话变为说真话的日子，所以这一天也不是星期一；星期四是牛头由说假话变为说真话的日子，也是马面由说真话变为说假话的日子，所以这天是星期四。

4.趣谈话外评论

《镜花缘》是清代长篇小说中十分奇特的一部，全书100回。它是清代文人李汝珍创作的长篇小说。小说前半部分描写了唐敖、多九公等人乘船在海外游历的故事，包括他们在女儿国、君子国、无肠国等国的经历。后半部写了武则天科举选才女，由百花仙子托生的唐小山及其他各花仙子托生的一百位才女考中，并在朝中有所作为的故事。其神幻诙谐的创作手法数经据典，奇妙地勾画出一幅绚丽斑斓的天轮彩图。其文学史意义是以奇幻的笔法，揭示了人间社会的种种风俗败坏和道德堕落，体现了对社会问题的思考，具有现实意义。

胡适曾说，几千年来，中国的妇女问题，没有一个人能写得这样深刻，这样忠厚，这样怨而不怒。《镜花缘》里的女儿国一段是永远不朽的文学。