等腰三角形的分类讨论笔记（动点在等腰三角形中的分类讨论）

点的存在性问题，在中考压轴题中非常普遍。比如因动点产生的平行四边形问题、因动点产生的线段和差问题、因动点产生的全等三角形问题、因动点产生的等腰三角形。这些动点产生的几何图形问题可谓十分的普遍，难度系数究竟怎么样？又有什么规律可遵循？下面，从动点产生的等腰三角形出发，分析探究这一点的存在性问题。

既然是探究因动点产生的等腰三角形，那么等腰三角形的基础知识必须总结归纳，牢记于心。

等腰三角形的性质：（1）等边对等角；（2）三线合一。

等腰三角形的判定：等角对等边。

而等腰三角形还有一点要特别注意：不确定性！①边的不确定性；②角的不确定性。

当给出等腰三角形的一条边时，我们要确定这条边到底是腰还是底边，同时还要确保三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。如果边不确定，那么一定要分类讨论！

当给出等腰三角形的一个角时，也要确定这个角是底角还是顶角。如果题中没有明显说明，那么一定要分类讨论！

因此，分类讨论思想是动点产生的等腰三角形问题中非常重要的思想方法！

方法归纳：对于两定一动确定等腰三角形，动点可用两圆一线来确定，分别以两定点为圆心，定点之间的距离为半径画圆，圆与动点轨迹的交点即为所求点;再作两定点连线段的垂直平分线，垂直平分线与动点轨迹的交点即为所求点,简称"两圆一线"。

例:如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动

点，且∠PDQ＝90°．

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP＝2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

解：分析（1）问解直角三角形，（2）问由BP=2可知P点的位置有两种可能，所以要分类讨论，然后四边形ABDE的两组对角互补，所以根据对角互补模型，过D点分别做AB、AC的垂线，得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例，求出相应线段的长。（3）问属于等腰三角形的存在性问题，该题准确作出图形是解题的关键。

练习、如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

思路点拨

1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况，然后找到相应的点；再根据两点间的距离相等或者相似三角形对应边成比例列方程；然后解方程并检验．

2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．