有趣的三角形面积计算公式（你会计算这个三角形的面积吗）

如图，在正方形ABCD内有一点P，PB=27,PD=23,求三角形PAC的面积。

有人会问了，正方形的边长是多少啊？题目是不是少条件啊？

题目没问题。事实上，“没告诉边长”这一事实，本身就是一个关键的条件 。后面再说为什么。

回到原题，思考一下。

1，

2，

3，

可直接看出，答案应该是（27^2-23^2)/4，平方差公式立得，面积是50。

先说常规思路。

计算三角形面积，无非两个方法：直接法和间接法。

直接法就是利用三角形面积公式，底×高/2，三斜求积（海伦-秦九韶公式），正弦求积，行列式求积，矢量法求积等等，直接计算三角形面积。从本题来看，三角形PAC无论哪一条边、哪一个角都是未知数，显然不太适合用直接法。

间接法，或者叫割补法，尤其适合不规则图形的面积计算。本题中，三角形PAC，可以说是一种“不规则”的三角形，采用割补法，显然有

三角形PCD和PAD是比较规则的三角形，面积用底乘高除以２即可。

过P点作CD的垂线，垂足Ｅ，作AD的垂线，垂足Ｆ,作AB的垂线，垂足为G。设正方形ABCD的边长是a,PE=x,PF=y。

那么根据勾股定理，有

前两个式子相减，得

于是

再来思考一下这道题，之前说过，“没告诉边长”这一事实，本身就是一个关键的条件。什么意思呢？意思就是边长无论等于多少，三角形PAC的面积都是一个定值。

一般性包含于特殊性之中，特殊性蕴含了一般性。

只需要考虑一种三角形PAC的面积很容易计算的特殊情况，比如说，P点落在边AD上。

如图，P点在AD上

仍然设正方形边长为a（就只有这一个未知条件了）,利用勾股定理，有

第一个式子心算一下，很容易就得到a^2-23a=(27^2-23^2)/2,从而三角形的面积是（27^2-23^2)/4=50.

比较一下两种思路，第一种常规思路，找准方向，步步为营，适合绝大多数题目，需要扎实的数学功底和比较丰富的解题经验。第二种则利用特殊性解题，比较适合不需要过程的填空、选择题。其实这也可以加以推广，对完全约束的几何题目，也就是边、角、点都限制死了，相对位置不能变动，就可以采用草稿纸按比例缩小、尺规作图，再量出未知参数，最后等比例放大的方法，得到所求参数。对于没有完全约束的几何题目，可以采用“一般性包含于特殊性之中，特殊性蕴含了一般性”这一哲学思想，只需要对特殊的简单情形进行求解计算即可。

最后，感谢评论区的朋友(@光明指引我)想出的更简单的方法：令P点位于对角线BD上

此时，三角形PAC是等腰三角形，底边AC=BD=PB PD=50,高PH=(PB-PD)/2=2,面积=50*2/2=50.

受到这个方法的启发，小编发现P点甚至可以在正方形的外部，题目中的结论仍然成立。只需要考虑特殊情形，P点在BD的延长线上：

此时，三角形PAC仍是等腰三角形，底边AC=BD=PB－PD=４,高PH=(PB＋PD)/2=25,于是面积=25*4/2=50.

真是意想不到呢！