一些比较经典的数学公式：最优美的数学公式

从物理到数学的演绎

1.单摆方程

单摆周期不变性

下图描述单摆的摆动过程,设某个时刻t，摆偏离中心的角度为θ,由于地球引力与

杆拉力的合力作用会使得小球在圆弧的切线方向产生加速度，力的大小为

|F|=mgsinθ。重锤重心离开中心平衡位置的弧线位移量可以表示成x=θl,

图1

θ=x/l,由于sinθ/θ->1, θ->0，sinθ=θ o（θ）≈x/l

力F在中垂点时为0，在其他位置时总会指向中垂点，设x在中垂位置的左

边为正，右边为负，F方向刚好与x方向相反。所以

F=-mgx/l

加速度是速度的导数，而速度是位移的导数，所以加速度是位移的二次导数，

由牛顿第二定律，重锤所受的力大小为：

F=mx’’

所以 mx’’=-mgx/l 消掉m得到

x’’=-g/lx。。。。。。。。（1）

这个式子叫单摆方程，显然它是个二次微分方程。我们试解这个方程

（sint）’’=-sint，但代入方程(1)中，还差个系数g/l。用待定系数法

只要取

就可以了,分析下

的量纲,刚好为时间。再看

,应该是个以

为最小周期往复运动的量,为了符合实际的物理现实情况,重锤重心的轨迹可

以用方程

来表示.

代表t=0时刻的偏角，而A就代表着最大摆幅。位移x是时间的函数，在平衡位置

的一边x为正，另外一边为负，做周期为

的运动。

以上推导确实表明：在小角度时，单摆的摆动周期与幅角无关，只与摆长l以

及重力加速度有关系。时间确实可以用摆动频率来加以计量，频率的量纲就

是1/s，代表每秒周期变化多少次的意思。这种分析可以看做物理数学方法，

对17世纪后期的物理学家来说得到单摆周期与幅度无关只与摆的长度有关的

数学证明已经是大成果了。

2.三角函数的指数表示形式

的解具有

的形式，仅停留于此还不是欧拉的风格，他要继续试方程（1）

还有什么类型的通解形式。首先y=sinx，y=cosx是最简单的特解。

这个函数当然不能是方程（1）的特解，因为

，

差了一个符号，

也不行，

这样

找到了这样的两个新特解。现在他要将这两个截然不同的函数连系在一起，

根据微积分基本定理，导数与积分为互逆运算，那么必然有：

令x=Π就得到：

图2

数学全部的核心“部件”：0，1，e，Π，i集成于一式。最基础的部件是0，1，e在下面起支撑作用，最基础的加号与等号就是这些量之间关系的说明！

欧拉研究三角函数的方法堪称近代数学史上纯数学研究最精彩的华章之一：来源于物理几何，但高于物理几何，而这一切都出自欧拉对相容性的深刻领悟。

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