平面直角坐标系的教学目标（HPM视角下的数学概念教学）

本文为“第三届数学文化征文比赛

HPM视角下的数学概念教学

——“平面直角坐标系”教学设计

作者：王秀阁

作品编号：013

关键词：平面直角坐标系；问题解决；数学文化

一、内容和内容解析

1.内容

平面直角坐标系

2.内容解析

本节课选自人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第七章第一节7.1平面直角坐标系。

学生学习了数轴，明确了实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。平面直角坐标系使点与坐标的对应关系顺利实现了从一维到二维的过渡，平面直角坐标系是学习函数及其图象、曲线和方程的基础，是沟通数与形的桥梁，使得我们可以用几何方法研究代数问题，又可以用代数方法研究几何，为解决数学问题提供了强有力的工具，开启解析几何学习的新篇章。

本节课从笛卡尔发现坐标系的漫画故事引入，在复习数轴上的点和实数一一对应的基础上，提出借助一个数轴（单轴）表示一对数，再尝试画出

，

，

……等点，经历了一百年左右的时间，数学家沃里斯提出画出竖直方向的轴，从一维数轴过渡到二维坐标系，进而得出平面直角坐标系、坐标平面、象限等相关概念，体会用两个距离刻画点与坐标原点的相对位置，进一步体会平面上的点与有序数对建立一一对应关系，再尝试从几何的角度对一一对应进行解释，体现数形结合思想。

数学文化介绍古今中外数学家在这个领域做出的贡献，揭示数形结合思想的历史源流与传承。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）从一维数轴到二维平面直角坐标系，理解建立平面直角坐标系的必要性；

（2）理解平面直角坐标系的相关概念；

（3）掌握平面内的点与坐标的一一对应关系。

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能基于单轴用一个点表示一个有序数对，到基于双轴用一个点表示一个有序数对。

达成目标（2）的标志是：学生理解两条数轴一般具备的特征：原点重合；互相垂直；向右为正方向，向上为正方向。理解坐标平面，在坐标平面内理解横轴（x轴）、纵轴（y轴）、原点、象限、坐标等相关概念。

达成目标（3）的标志是：学生在理解建立平面直角坐标系的必要性的基础上，体会平面内的点和有序数对的“一一对应”：给一个坐标，就有唯一确定的点与之对应；反之，给一个点，就有唯一确定的坐标与之对应。在给定的平面直角坐标系中，学生能由点的位置写出坐标，给出坐标确定点的位置。

三、教学问题诊断分析

平面内的点的坐标是根据数轴上点的坐标来定义的，学生已经理解了数轴上的点与坐标的一一对应关系，对从一维空间过渡到二维空间的认识还存在着认识上的不足，要让学生真正理解建立平面直角坐标系的必要性，体会其中蕴含的点与坐标的一一对应关系比较困难，需要较强的抽象思维能力。另外章起始课建构全章的研究脉络，也是比较重要的，需要学生主动思考，进行有意义建构。

因此，本节课的教学难点是：理解建立平面直角坐标系的必要性，体会平面直角坐标系中点与坐标的一一对应，建构本章的研究脉络。

四、教学过程设计

（一）提出问题：解析几何的建立，是西方数学的转折点。

平面直角坐标系的创建者：笛卡尔（1596-1650）与费马（1601-1665）“普遍数学”的思想：

将所有问题转化为数学问题，又将一切数学问题转化为代数问题，再将代数问题转化为方程问题来解决。数学中的几何问题能否与代数问题进行互相转化呢？

由学生结合笛卡尔的漫画，介绍笛卡尔。激发学习兴趣。

【设计意图】教师介绍笛卡尔“普遍数学”的思想，引导学生思考：几何对象和代数对象能否互相转化。

（二）分析问题：

平面直角坐标系的前世

1.实数都可以在数轴上表示出来。

2.尝试将 用一个点表示出来。

笛卡尔用如下的方式用一个点表示出了，你能理解其合理性吗？

如何表示 ，，，

，

，……

你能发现这些数组满足的关系式吗？

满足（二元一次方程），笛卡尔就是用这种方式将一个一元二次方程用图形表示出来的。特殊的，离开原来的数轴上的相应的点上下平移相应的单位长度，就得到表示相应数组的点。

这时，笛卡尔虽然建立了坐标系，但是是单轴，利用单轴可以表示负的坐标。

反过来，给定一个点P，能否用两个实数表示出来呢？

过P作x轴的垂线段，垂足在x轴上的数为3，P与垂足间的距离是3，且在x轴的下方，所以点P可以表示一对数

.

在这里，作了一条垂线段，就能获取y的对应值了。

这时，其实可以试试再作一条竖着的数轴。

平面直角坐标系的今生：数学家沃利斯引进了过原点的竖着的轴，即用两条互相垂直的数轴于公共原点处建立平面直角坐标系，这样就可以用数刻画相对于公共原点（O）的位置了。

由于数对的正负组合有四种情况，而两条相交直线将平面分成四个区域，可使平面内点的分布情况与“数对”的符号组合情况相互联系，两条数轴成为分界线。

【设计意图】通过平面直角坐标系的前世今生的介绍，还原数学家发现平面直角坐标系的过程，由于收到学生知识的限制，不能完全像数学家一样探究，在基于单轴用一个点表示一个有序数对时，先给出一个示范，观察交流其合理性，再放手让学生基于单轴表示有关系的几组有序数对，进一步归纳代数特征，进而体会将二元一次方程实现几何表示，初步体会几何对象和代数对象可以互相转化。

（三）讲解新知

一般地，在平面内取一点，过点画两条互相垂直的数轴，且它们以点为公共原点，在平面内建立了一个直角坐标系。对于水平放置的数轴，它的正方向向右，称为横轴，记作轴；对于垂直放置的数轴，向上为正方向，称为纵轴，记作轴。平面直角坐标系中，为坐标原点，简称原点,轴，轴统称为坐标轴，直角坐标系所在的平面称为直角坐标平面，简称为坐标平面。

坐标平面被两条坐标轴分成了4部分，每部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

坐标轴上的点不属于任何象限。

有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。

如图，在平面直角坐标系中，点B，C，D的坐标分别是什么？

B（-2，3），C（4，-3），D（-1，-4）．

对于平面内的任意一点P，过点P 作x轴的垂线段，垂足为M，可得点M在x轴上所对应的实数a；再过点P 作y轴的垂线段，垂足为N，可得点N在y轴上所对应的实数b.那么有序实数对（a,b）表示点P 的位置，记作P(a,b).

已知有序数对（a,b）,在x轴上找到表示a的点M，过M作x轴的垂线，在y轴上找到表示b的点N，过N作y轴的垂线，两条垂线交于点P。

用所学的几何知识解释平面内的点与有序数对是一一对应的。

点唯一，垂线唯一，交点唯一。

借助平面直角坐标系，可以确定图形的位置，研究两点间的线段的长度，两条直线的垂直及平行关系，两条线段的大小关系，用坐标表示平移，……。

【设计意图】通过阅读定义，找出关键词，明确平面直角坐标系的相关概念，在明确定义的基础上，通过用坐标表示点，已知点写出坐标，并用学过的几何原理解释点与坐标的一一对应关系，初步感知借助平面直角坐标系，可以解决的相关问题，揭示本章的研究脉络。

（四）应用提升

数学家传递手稿活动：笛卡尔位于图中原点O的位置，他的好朋友费马与其他朋友分别位于图中A,B,C,D,E,F的位置。现在笛卡尔有一些重要手稿，需要助手转交给费马与其他朋友。请问笛卡尔应该怎么向助手描述这些朋友的位置呢？

【设计意图】根据题意，合理建立直角坐标系，再写出这些点的坐标，巩固所学新知。

（五）数学文化

用坐标系确定点的位置起源于古代，战国时代的石申制成的世界上最早的星表《石氏星经》，用坐标思想方法记录了一百多颗恒星的位置。14世纪，已有经纬度的萌芽，笛卡尔从古代的天文和地理的经纬线制中得到启发，于1637年出版的《方法论》中，阐述了平面坐标方法和变量思想。

坐标系有许多种。按空间维数分，有平面坐标系和空间坐标系。

在平面坐标系中，有平面直角坐标系、平面斜角坐标系、仿射坐标系、极坐标系等。

吴文俊先生在中国传统数学史研究的基础上，继承并发展了中国古代以“问题解决”为主旨的算法体系，创立了数学机械化方法。几何问题的代数化是几何问题的机械化的第一步，为此需要引进数系，构建坐标系，把几何问题转化为代数问题进行描述。

【设计意图】通过介绍数学文化，了解中外不同数学家对平面直角坐标系发展的贡献，揭示数形结合思想的历史源流与传承，体现数学的理性精神和人文情怀，感受跨时空的数学文化交融。

（六）课堂小结

1.本节课的核心内容：平面直角坐标系，从一维数轴过渡到二维平面直角坐标系构建的必要性。

2.平面直角坐标系将平面上的点和有序实数对之间，建立了一一对应关系。

3.数学文化方面：

【设计意图】通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，理解平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系，感受数形结合思想。

（七）布置作业

1.阅读课本P65 -68 7.1.2平面直角坐标系完成练习1.2

2.习题7.1的1-6题。

五、课堂目标检测

1.在平面直角坐标系中描出下列各点：

A（4，5），B（-2，3），C（-4，-1）， D（3，0），K（0，-4）．

2.在平面直角坐标系中写出图中点A，B，C，D，E的坐标.

【设计意图】主要考查学生对平面直角坐标系中点的坐标表示的掌握情况。

六、教学反思

平面直角坐标系是以数轴为基础的，它是由两条互相垂直，原点重合的数轴构成的，“平面直角坐标系”的建立使有序数对与平面内的点产生了一一对应，提供了用代数方法来研究几何问题的重要数学工具．作为章起始课的主要功能是帮助学生了解本章学习内容、地位和作用，本节课关注知识体系的建构，初步感知本章的研究脉络，让学生对学习进程心中有数，唤醒并激发学生学习的兴趣和热情，有助于发展学生的核心素养，章起始课教学要起到“转轴拨弦两三声，未成曲调先有情”的效果。

参考文献

1.义务教育教科书教师教学用书 数学七年级下册，人民教育出版社，2012年10月第1版

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