圆的最值问题归纳（圆的知识应用案例）

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轴承是工业设备中的一种常用零配件，滚动轴承是轴承中常见的一种，其几何模型中涉及到圆的有关知识。

建立轴承的几何模型

轴承是在两个同心圆组成的圆环中镶嵌入一定数目的滚珠。

为叙述方便，我们分别简称轴承外框、内框、滚珠为外圆、内圆、小圆。

为保证轴承有效的滚动，这三种圆应该有如下的位置关系：

1.外圆与小圆始终内切；

2.内圆与小圆始终外切；

3.小圆之间始终外切（理想状态）；

4.内外圆始终同心。

设外圆的半径为R，内圆的半径为r1，小圆的半径为r2，小圆个数为n（正整数），小圆圆心组成的正n边形的中心角为θ（0°<θ<180°）。

不难发现，与上述四种位置关系对应的数量关系：

1.R=r1＋2r2

2.θ=360°/n

3. sinθ/2=r2/(r1 r2)

问题来了！外圆半径R，内圆半径r1，小圆半径r2，小圆个数n，这四个量中，任意知道两个量，其他两个量是否确定？

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【问题】若外内圆的半径R，r1任意给定(R>r1)，是否存在一定数目的小圆符合条件?

由前面的关系式：

1。R＝ r1＋2r2

2。sinθ/2＝r2/(r1 r2)

3。n=360°/θ

知道

r2=（R-r1）/2，

0<sinθ/2＝r2/(r1 r2)=（R-r1）/（R＋r1）<1

θ=2arcsin（（R-r1）/（R＋r1））不一定被360°整除，

所以n=360°/θ不一定是整数。

结论1

若R，r1的取值不能保证n为一个大于等于3的正整数，则就不一定存在符合条件小圆。

按以上相同方法讨论，不难得到下列结论

结论2

若外圆的半径R，小圆半径r2任意给定(R>r2)，不一定存在内圆和一定数目的小圆符合条件。

结论3

若内圆的半径r1，小圆半径r2任意给定，不一定存在外圆和一定数目的小圆符合条件。

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【问题】若给定外圆的半径R和小圆的数目n，是否存在符合条件的内圆和小圆？

由前面的关系式：

1。R＝ r1＋2r2

2。sinθ/2＝r2/(r1 r2)

3。θ=360°/n

知道

1。θ=360°/n

2。sinθ/2＝sin（180°/n）=r2/(r1 r2)

3。R＝ r1＋2r2

联立解得

r2=Rsin（180°/n）/(1 sin（180°/n）)

r1=R-2Rsin（180°/n）/(1 sin（180°/n）)

=R（1-sin（180°/n））/(1 sin（180°/n）)

结论4

若给定外圆的半径R和小圆的个数n，则一定存在符合条件的内圆和小圆。

按以上相同方法讨论，不难得到下列结论

结论5

若给定内圆的半径r1和小圆的个数n，则一定存在符合条件的外圆和小圆。

结论6

如果给定小圆的半径r2和小圆的个数n，则一定存在符合条件的外圆和内圆。

综上所述1。外圆、内圆、小圆的半径R、r1、r2三个量中，任意知道两个量，不一定存在符合条件的第三个圆；2。先给定小圆的个数n，再从R、r1、r2中的任意给定一个量，就一定存在符合条件的另外两个圆。

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