高斯投影带定义（高斯投影变形优化）

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高斯投影变形优化

焦晨晨¹，李松林^2，3，张晓平⁴，叶 彤²，边少锋^1,2

1.中国地质大学 地理与信息工程学院，武汉

2.海军工程大学 导航工程系，武汉

3.北京卫星导航中心，北京

4.中国地质大学（北京）信息网络中心，北京

摘要：为了改善高斯投影区域变形问题，该文提出将1减区域最大长度变形的一半作为比例系数，并将其乘以高斯投影公式形成新的割高斯投影。借助计算机代数系统分别推导了割高斯投影优化算法在中低纬度地区和靠近极点地区的长度比公式，分析了比例系数关于纬度和经差的变化趋势以及优化算法在不同区域的变形情况。结果表明，在同一区域内，经差越大纬度越低，则比例系数越小，对长度变形的改善也越明显。并且在与传统高斯投影相同的变形水平下，推导的高斯投影优化公式极大地拓展了带宽，这对高斯投影的工程应用是值得注意的。

0 引言

对于地图的生产者及使用者而言，正确理解什么样的投影方式引起什么样的变形，以及变形的程度是十分重要的。高斯-克吕格投影也称等角横切椭圆柱投影（为了与本文算法进行区分，下文统一称切高斯投影），是一种沿经线分带的等角投影[1-4]。该投影的经纬线是以中央经线和赤道为对称轴，采用分带投影的方式限制投影变形，我国通常以3°或6°为带宽进行分带。作为我国常用的一种等角投影方式，高斯投影常用于大比例尺地形图的绘制，如我国现行的1:50万及更大比例尺的各种地形图、联合作战图等，都采用高斯投影作为数学基础[5-8]。同时高斯投影也是我国省区地图集常用的投影方法之一 [9-10]。对于极区，通常采用日晷投影[11]，但日晷投影仅与地球相切于一点，其随着极距的增加投影变形也逐渐增大，而高斯投影与地球相切于一点，其长度变形必然小于日晷投影。根据高斯投影原理，其长度变形主要与经差有关，受纬度变化的影响不很明显，因此在投影区域跨越纬度范围较大时，高斯投影相较于圆锥投影[12]更有优势，而这时需要解决的问题是如何控制高斯投影在投影区域内经差方向上的变形。

为了改善区域投影变形，常采用通用横墨卡托投影（universal transverseMercator projection），简称UTM投影，是一种割高斯投影，与切高斯投影具有相似的关系[2]。其中，央经线长度比为固定值，只能使纬度40°附近区域的投影变形分布较为合理，而其他区域变形都不理想。文献[13]系统地研究了双标准经线等角横圆柱投影，其在指定经差的两条经线上无变形，这种投影方法整体变形虽优于切高斯投影和UTM投影，但对经差上的改善并不明显。文献[14]对高斯投影规律进行了全面的分析，提出了利用抛物线拟合法计算高斯投影长度比，这在一定程度上完善了高斯投影长度变形规律的研究，但仍然是对等角横切椭圆柱投影进行分析。对于割高斯投影，重点在于中央经线长度比的确定。鉴于此，为了将最大投影变形平均分配在投影区域内，使区域整体变形更小，本文提出以1减区域最大长度变形的一半作为比例系数来确定割投影区域中央经线长度比。该表达式使理论分析更加方便，数值运算效率更高，区域内长度变形更小。

1 切高斯投影变形分析

高斯投影是等角投影，投影后无角度变形，故从一点出发，任一方向的长度比是相等的，长度比计算公式见式（1）[2]。

由图1（a）可知，在经差固定的情况下，投影长度比曲线关于赤道对称，在赤道处达到最大，随着远离赤道而逐渐减小；由图1（b）可知，在纬度固定的情况下，投影长度比曲线关于中央经线对称，随着经差的增大，长度比逐渐增大。因此，切高斯投影算法无论在靠近赤道区域还是远离中央经线区域精度都有不同程度的受损，存在一定局限性。

2 高斯投影长度比的优化

由地图投影理论可知，割投影与切投影是一种相似变换关系。对高斯投影而言，割高斯投影即圆柱面与地球球体相割于两条等高圈上，如图2所示，两条割线上无长度变形，割线以内的区域长度变形为负值，割线之外的区域长度变形为正值。割高斯投影相比高斯投影，可以减小投影区域的最大变形，扩大投影区域跨越的经度范围。

由图3可知，对于同一经差，值随最低纬度的增大而增大，对于同一最低纬度，值随经差的增大而减小，即带宽越宽，纬度越低，比例系数值越小；而高斯投影是带宽越宽纬度越低变形越大。因此，优化后的高斯投影可有效地改善比较大经差和低纬度的变形。

3 极区高斯投影长度比的优化

为了便于分析，将地球半径做归一化处理，根据式（8）在计算机代数系统Mathematica中绘制极区投影的平面图，如图4所示，纬线圈在极区的变化类似于椭圆变化，经线的变化类似于曲率不大的双曲线变化，故在一定范围内经线投影的表现近似于直线。

4 实验分析

4.1 精度分析

由表1可知，与切高斯投影算法相比，本文算法得到的最大变形为，最大变形改善了近50.05%。由此说明，割投影在一定程度上极大地改善了区域的投影变形，使得投影区域的整体变形更小；对于区域内不同位置的长度变形，本文算法计算的长度变形小于UTM算法的计算值，而且与UTM算法相比，最大变形改善了近17%；与双标准经线等角横圆柱投影算法相比，本文算法计算的长度变形改善了近33.3%。

为了进一步验证公式的准确性，选用国家级基础地理信息中心的省区数据，对陕西省的区域变形分布进行可视化处理。为了便于表示，对地球半径进行归一化处理，并在计算机代数系统中画出不同算法下陕西省区域的变形分布密度，如图6所示。

为了更直观地了解高斯投影在极区范围内的长度变形，借助计算机代数系统，求出在极区范围内余纬度以及（北极圈附近）时，不同经差的长度比，如表2所示。

由表2可知，不同纬圈、不同经差的变形情况不同，离中心投影越远，地图的投影变形越大。在极区范围内，当经差不大或位于极点附近时，投影变形很小，此时适用于绘制大比例尺地形图及港泊图；在极区范围内，基于本文算法计算的长度比小于球体高斯投影的计算值；长度变形最大处在北极圈附近，当经差为60°时，基于本文算法得到的投影变形达到3.1%以内，而基于UTM算法和球体高斯投影算法的变形均在6.6%以内，改善了近53%，基于双标准经线等角横圆柱投影算法的变形在4.5%以内，改善了近31%，但此时仍不适宜绘制大比例尺地图。可以根据特定用途，绘制小比例尺总图或大洋图，用于制订大洋航线和总的航行计划。基于本文推导出的极区高斯投影长度比公式，对地球半径进行归一化处理，分别绘制出南北极地区的高斯投影示意图，如图7、图8所示。

为了便于理解经差带宽拓展情况，将表3中带的拓宽情况绘制成图9。其他情形下的带宽分析与带的拓宽情况类似。

综上可知，割高斯投影可有效改善区域整体变形。随着纬度的升高，经差拓宽更大，尤其在极区甚至可以不分带便满足同等大小的变形要求。

5 结束语

本文提出将1减区域最大长度变形的一半作为投影系数求解割高斯投影中央经线长度比，建立了适合计算机代数系统下进行分析的数学模型，推导了高斯投影中低纬度地区和极区中央经线长度比表达式，讨论了割高斯投影在不同区域内的长度比，分析了本文算法在中低纬度和极区时经差拓宽情况，得出如下结论。

1) 推导的割高斯投影长度比公式理论分析方便，数值运算效率高，区域内整体变形较小，改善了高斯投影变形，丰富了高斯投影变换理论。

2) 本文算法突破了传统高斯投影的带宽限制，极大地改善了经差区域内的长度变形。以陕西省为例，本文算法计算得到的最大长度变形为0.000 498，较切高斯投影改善了近50.05%，较UTM投影改善了近17%，较双标准经线等角横圆柱投影算法改善了近33.3%；以极区为例，当经差为60°时，本文算法计算的最大长度变形为0.030 63，较切高斯投影和UTM投影均改善了近53%，较双标准经线等角横圆柱投影算法改善了近31%。因此，本文算法适用于我国经差较大省份地图以及极区范围内的地图制作。

3) 无论是切高斯投影还是割高斯投影，在相同长度变形的情况下，本文算法能够拓宽投影带宽，而且随着纬度的升高，经差拓宽更大，在极区时甚至可以不分带便满足同等大小的变形要求。

4) 建立的数学模型可推广至椭球体模型下高斯投影长度比的优化，限于篇幅，只推导并分析了基于球体模型的高斯投影长度比优化算法，该算法适用于大比例尺地形图的绘制。因此，在我国大比例尺地图制作过程中，可以采用本文推导的高斯投影长度比优化算法。

作者简介：焦晨晨（1995—），女，山西朔州人，硕士研究生，主要研究方向为大地测量数据处理和地图投影。E-mail：jiaocchen@163.com

基金项目：国家自然科学基金项目（41871376，42074010）；湖北省杰出青年科学基金资助项目（2019CFA086）

通信作者：李松林博士 E-mail:songlin829@126.com

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