极值计算思维导图(求极值的方法终极总结)

求函数f(x)的极值点和极值,可以针对一点x=x0来分析。首先,我们要考虑,函数在x=x0是否可导。

极值计算思维导图(求极值的方法终极总结)(1)

1、如果x=x0是f(x)的不可导点,那么就要用极限的第一充分条件判断。函数在x0的某邻域U(x0)内,左增右减,x=x0就是f(x)的极大值点;反之,如果左减右增,x=x0就是f(x)的极小值点。否则,x=x0就不是f(x)的极值点。

(1)用定义判断,如果f(x0)比U(x0)上的任意函数值f(x)大,x=x0就是f(x)的极大值点;反之,如果f(x0)比U(x0)上的任意函数值f(x)小,x=x0就是f(x)的极小值点。

(2)用导数判断,如果在左邻域有f'(x)>0,在右邻域有f'(x)<0,x=x0就是极大值点;在左邻域有f'(x)<0,在右邻域有f'(x)>0,x=x0就是极小值点。

2、如果函数在x=x0可导,就求x0所在的可导区间上的导函数,并且解方程f'(x)=0,得到导函数的零点。假如x0是导函数的零点,x=x0就满足极值的必要条件;如果x=x0不是导函数的零点,x=x0就不是f(x)的极值点。

(1)对可导点x=x0,我们仍可以用第一充分条件来判断。

(2)当然,用得更多的,还是第二充分条件。即通过判断f"(x0)的符号性质来确定x=x0是什么极值点。

若f'(x0)=0,f"(x0)>0,则x=x0是f(x)的极小值点;若f'(x0)=0, f"(x0)<0, 则x=x0是f(x)的极大值点。

3、若f'(x0)=0,f"(x0)=0, 就要运用第三充分条件来判断。对函数求高阶导数,直至f^(n)(x0)不等于0。

(1)此时,如果n是奇数,则x=x0不是f(x)的极值;

(2)如果n是偶数,那么当f^(n)(x0)<0时,x=x0是f(x)的极大值点,当f^(n)(x0)>0时,x=x0是f(x)的极小值点。

下面通过一道例题,来加深对这个知识的理解:

例:求f(x)=(x-1)^3(x 2)三次根号(x^2)的极值点.

解:f(x)在x=0不可导,f(0)=0,

当-2<x<0时, f(x)<0, 当0<x<1时, f(x)<0,

∴x=0是f(x)的极大值点.

f(x)=x^(14/3)-x^(11/3)-3x^(8/3) 5x^(5/3)-2x^(2/3),

f'(x)=14x^(11/3)/3-11x^(8/3)/3-24x^(5/3)/3 25x^(2/3)/3-4x^(-1/3)/3

=x^(-1/3)(14x^4-11x^3-24^2 25x-4)/3【这个多项式一定含有因式(x-1)^2】

=x^(-1/3)(x-1)^2(14x^2 17x-4)/3.

当f'(x)=0时, x=1, 或x=(-17 3根号57)/28, 或x=(-17-3根号57)/28,

f"(x)=154x^(8/3)/9-88x^(5/3)/9-40x^(2/3)/3 50x^(-1/3)/9 4x^(-4/3)/9,

f"(1)=0, f"((-17 3根号57)/28)>0, f"((-17-3根号57)/28)>0, 【可以用近似数来检验,降低难度】

所以x=(-17 3根号57)/28和x=(-17-3根号57)/28都是f(x)的极小值点.

又f"'(1)≠0, ∴x=1不是极值点. 【并不需要求导函数就可以判断,因为如果f"'(1)=0,则f(x)有因式(x-1)^4或没有因式(x-1)^3】

综上, f(x)有极大值点x=0,以及极小值点:x=(-17 3根号57)/28和x=(-17-3根号57)/28.

极值计算思维导图(求极值的方法终极总结)(2)

函数的图像大致如上图.

现在您对求极值的方法,完全掌握了吧!

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