微积分 数学分析（数学分析之多元微积分理论简介）

之前的数学分析相关文章讨论的是一维的函数微积分理论。本套教材最后一册从一维数轴过渡到二维平面，来探讨和分析多元函数微积分理论。

有了前面的基础，我们不难将之前的知识体系迁移到这里来。

首先明确定于域，从数轴R到平面R^2，然后给出点和面的关系，点和点集的关系，平面集合的开闭关系。

定义域是限定的讨论范围，是函数的灵魂，需要讨论R^2的完备性。

定义域理论完善明确后，二元函数顺理成章的出现。如出一辙的结构，定义二元函数与多元函数，然后描述二元函数极限,这里出现重极限与累计极限的概念，通过极限理论，刻画二元函数的连续性，同样的，连续的二元函数具体某些整体性质。

数学分析知识发展轴：函数-》极限-》连续性-》可导可微-》积分

连续的二元函数同样有可导可微的概念，不同的是这里会分偏导数和全微分的概念。不可避免的会谈到可微的几何意义以及充分条件，还有复函二元函数的微分法，求导法则。

当到这个时候，二元函数的微分理论算是告一段落。那二元函数微分法有什么用呢？最常见的用途是求最值和极值，这里就涉及到方向导数最大值和梯度的概念，而且，二元函数也能进行泰勒展开。求极值最值是最常用也最有用的，不过，什么情况下才具备极值呢，这是一个要详细讨论的问题---多元函数的极值存在的必要条件和充分条件。

当自变量与因变量的一一对应关系无法通过数学表达式z=f(x)表示时，则称之位隐函数。隐函数是有几何意义的。讨论隐函数的分析性质，首先要解决的是隐函数的存在性问题，只有存在了，才能进行后续的求导探讨。

隐函数组能表示：两个曲面相交得到的曲线的参数化方程，反函数组，坐标变换。隐函数组。

隐含数组的具体应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线。

会涉及条件极值的概念与几何意义，条件极值和拉格朗日乘数法也有关系。

二元函数微分导数讨论完毕就到讨论积分性质与理论了。

这里的积分会涉及到含参变量积分（分为含参变量正常积分与反常积分），讨论含参变量正常积分的性质与讨论含参变量反常积分的一致收敛判别法及分析性质是不可避免的。

含参变量反常积分是有具体应用的：

• 计算Poisson型积分
• 计算迪利克雷型积分
• 计算欧拉型参变量积分--Gamma函数
• Beta函数
• Beta函数与Gamma函数的关系

重积分，类似于定积分，具体应用有计算曲面的面积，计算重心，计算万有引力。

依据重积分定义-》存在性-》可积类型-》二重积分具有的性质，的顺序讨论着二重积分的概念。具体的有直角坐标系下二重积分的计算（矩形区域的重积分可以转化为累计积分，并以此推广到一般区域）。二重积分存在变换变量公式（变量变换与面积微元），变换后，可能变为在极坐标系中计算二重积分。更进一步，从二重积分推广到三重积分，计算三重积分的方法是变为累次积分（包括穿针法与切片法），三重积分也是存在变量变换法的。

​积分是一个工具，是个手段，讨论好多元函数的积分性质后，应用是重点：计算曲线积分与曲面积分。

• 第一型曲线积分
• 第一型曲面积分
• 第二型曲线积分
• 第二型曲面积分
• 两类曲线积分之间的关系
• 两类曲面积分之间的关系
• 各种多元积分之间的关系：
• 1）格林公式
• 2）高斯公式
• 3）斯托克斯公式
• 4）曲线（平面/空间）积分与路径无关性

最后，场论初探：

• 涉及散度和旋度
• 哈密顿算子
• 几种常用的场：
• 1）无源场
• 2）无旋场
• 3）梯度场
• 4）散度场
• 5）旋度场

以上就是本套教材最后一册的多元微积分理论的概括内容和编排知识体系结构的顺序。

纯数学理论实在太枯燥了，明天起，换个新口味。