数据挖掘方法以及对应的算法（数据结构与算法-进阶）

摘要

生成树是一种图的表现形式，它有个简单的规定，就是边的数量等于顶点的数量减一。在有权图中找到最小生成树在很多场景中被应用到。这里主要介绍一种获取最小生成树的方法，即 Prim。还有另外一种，下期继续。

生成树也被称为支撑树，在连通图中，它的极小连通子图就是生成树。极小连通子图包含连通图中全部的 n 个顶点，连接的边恰好只有 n-1 条（这里讨论无向图）。如下图所示的连通图：

它的极小连通子图可以有如下3种（其实可以还有其他种）：

看极小连通子图，可以总结出图中的顶点与边的关系为，边 = 顶点 - 1。

最小生成树

最小生成树通常也可以被称为最小权重生成树或者最小支撑树，即所有的生成树中，总的权值最小的那棵树。既然提到权重，那么最小生成树就是适用于有权的连通图（依然讨论的是无向的）。如下图所示，右侧部分就是最小生成树：

打个最小生成树应用的场景。假如要在多个城市之间铺设光缆，让它们之间可以通信。铺设光缆的费用比较高，而且每个城市之间的距离不同等等因素，造成不同城市之间铺设光缆的费用不同，如何以最低的费用铺设光缆呢？最小生成树就是解决的方案。

有一点要留意，在一个图中，每一条边的权值都互不相同，那么最小生成树只会有一个，否则可能会存在多个最小生成树。

现在求最小生成树有2个经典算法，分别是 Prim（普里姆算法）和 Kruskal（克鲁斯克尔算法）

Prim 算法

学习 Prim 算法之前，需要了解切分定理，它是 Prim 定理的核心操作。

切分就是把图中的节点切分为两部分，这被称作一个切分，如下图所示：

这里将图切分成两部分，顶点 A、B、C 是一部分，D、E 是一部分。红色边被称为横切边，即一个边的两个顶点，分别属于切分的两部分，那么这个边就被称为横切边，如图 BD、BE、CE 就是横切边。

切分定理就是给定任意的切分，横切边中权值最小的边必定属于最小生成树。

Prim 算法执行时，假设一个有权的连通图（无向的）为 G（包含顶点和边），A 为 G 中的最小生成树。再定义一个存放顶点的集合 S，起始 S 中的顶点远小于 G 中的顶点。然后进行切分操作（后面提到），直到 S 和 G 中的顶点的数量相同。

切分操作是先找到切分 C = (S, V-S) 的最小横切边，并入到 A 中，同时将其顶点并入到集合 S 中，重复这样的操作。如下图所示（从左到右，从上到下，注意图中的几个元素，绿色的顶点、蓝色的顶点、黑色的边、绿色的边、红色的边、虚分割线、权值）：

图中以顶点 B 开始进行切分，红色边就是横切边，绿色顶点部分是最小生成树集合。这里有几个核心操作：

1. 绿色顶点与蓝色顶点相连的边就是横切边，也是每次切分的部分；
2. 横切边中选择权值最小的，划分到绿色部分（最小生成树），然后将该边设置为绿色，权值相等，就随便选择一条边；
3. 当全部顶点都是绿色时，查看图中还是黑色的边，删除它，一个最小生成树就完成了。

先上代码，通过代码再来梳理一遍：

Set<EdgeInfo<V, E>> prim() { iterator<Vertex<V, E>> it = vertices.values().iterator(); if (!it.hasNext()) return null; Vertex<V, E> vertex = it.next(); Set<EdgeInfo<V, E>> edgeInfos = new HashSet<>(); Set<Vertex<V, E>> addedVertices = new HashSet<>(); addedVertices.add(vertex); MinHeap<Edge<V, E>> heap = new MinHeap<>(vertex.outEdges, edgeComparator); int verticesSize = vertices.size(); while (!heap.isEmpty() && addedVertices.size() < verticesSize) { Edge<V, E> edge = heap.remove(); if (addedVertices.contains(edge.to)) continue; edgeInfos.add(edge.info()); addedVertices.add(edge.to); heap.addAll(edge.to.outEdges); } return edgeInfos; }

prim 函数返回的是 EdgeInfo 类型的集合，Edgeinfo 主要存放的是起始顶点、结束顶点和权值：

public static class EdgeInfo<V, E> { private V from; private V to; private E weight; public EdgeInfo(V from, V to, E weight) { this.from = from; this.to = to; this.weight = weight; }

prim 函数中的前三行代码是保证图集合是否存在顶点，并获取第一个顶点，这里使用了迭代器的方式来处理（其他方式也可以）：

Iterator<Vertex<V, E>> it = vertices.values().iterator(); if (!it.hasNext()) return null; Vertex<V, E> vertex = it.next();

接下来创建存放 Edgeinfo 和存放最小生成树顶点的集合 addedVertices，存放第一个顶点，准备后面的切分操作。

这里使用 MinHeap 存放放入 addedVertices 中顶点的出度边，MinHeap 是小顶堆，会将其中的边按照权值，将最小的权值放在一个位置，后面再添加的边也会及时更新，一只保持权值最小的边在第一位（对小顶堆感兴趣可以看《数据结构与算法-基础（十九）堆》文章）。

MinHeap<Edge<V, E>> heap = new MinHeap<>(vertex.outEdges, edgeComparator);

最后就是不停将 heap 中权值最小的边拿出来，放入到 Edgeinfo 集合中，将边的结束顶点放入 addedVertices 中，再将结束顶点的边继续放入 heap 中。如果这个边的结束顶点已经在 addedVertices 中，就不做前面的操作。直到 addedVertices 中的顶点数量和图中的顶点数量相同结束。

也有一种情况，就是 heap 中的元素没有了，这时也是完成了，最后部分代码，看上面最开始的部分。

总结

• 生成树也被称为支撑树，图中的边数量等于顶点数量减一就可以被称为生成树，一个图中的生成树有很多；
• 最小生成树是权值最小总和最小的生成树，在权值互不相同的图中，最小生成树只有一个；
• Prim 是求最小生成树的算法，它使用切分的方式处理，其中用到小顶堆的数据结构。

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