线段与垂直平分线的关系（线段垂直平分线的性质⑴）

如图，P是△ABC内一点，PG是BC的垂直平分线，∠PBC=1/2∠A，BP、CP的延长线交AC、AB于点D、E，求证：BE=CD.

分析：本题主要考察垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，如何构造全等三角形如何添加辅助线是解题目的关键。

解：过B作BF⊥PF交PE的延长线与F，过C点作CM⊥PD交PD于M

∵PG是BC的垂直平分线

∴PB=PC

又∵∠FPB=∠MPC,

∠PFB=∠PMC=90°

∴△PFB≌△PMC

∴BF=CM

∵PB=PC,

∴∠PBC=∠PCB=1/2∠BPE

∵∠PBC=1/2∠A

∴∠A=∠BPE

∴∠BPE ∠EPD=∠A ∠EPD=180°

在四边形AEPD中

∴∠AEP ∠ADP=180°

∵∠AEP=∠BEF,

∠ADP ∠MDC=180°

∴∠BEF=∠MDC

在△BEF和△CDM中

∠BFE=∠CMD=90°

BF=CM

∠BEF=∠MDC

∴△BEF≌△CDM

∴BE=CD