微分和导数的算法（数学分析之微分与导数）

在数学史上，微积分的创立是继Euclid几何之后的最伟大的创造之一。微积分首先解决了当时17世纪的四类科学问题：1.已知加速度-时间函数，求物体的速度和移动距离；2.求曲线的切线；3.求函数的最值；4.求曲线弧长，曲线围成的面积等。

今天，我们就来学习微积分中的微分与导数。

第1节，讲微分和导数的概念：

• 设f(x)在邻域U(x0)中有定义，当给一个增量Δx，满足Δx x0 ∈U(x0)时，可以得到函数的增量Δy=f(Δx x0)-f(x0)，如果存在与Δx无关的常数A ,使得可以表示为Δy=A*Δx o(Δx)，那么就说f(x)在点x0可微，A*Δx是函数在x0的微分，记作dy|x=x0 = A*Δx。我们可以看出，微分是一个增量的线性函数，微分dy 与增量Δy 与高阶无穷小o(Δx)存在关系：Δy = dy o(Δx)。注意这里可微是点态的
• 可微-连续定理：若f(x)在x0可微，则函数在x0连续。
• 设f(x)在邻域U(x0)中有定义，若极限 lim [(f(x0 Δx)-f(x0))/Δx] Δx->0 存在，则称f(x)在点x0可导，该极限值称为函数在x0的 导数，记作f`(x0)。这里的定义也是点态的。
• 可以看出，极限，沟通了可导与可微，lim Δy/Δx Δx->0 = lim {A*Δx o(Δx))/Δx =A Δx->0
• 导数是是通过极限来描述的，极限分左极限和右极限，不难得出，导数分为左导数和右导数，左右导数统称为单侧导数
• 导数存在定理：导数f`(x0)存在 <==> 该点的左右导数都存在且相等，即 f`-(x0) = f` (x0)
• 可微-可导定理：f(x)在x0可微 <==> f(x）在x0可导，且 A=f`(x0)；即是 Δy=f`(x0)Δx o(Δx), 有限增量公式
• 根据可微-连续定理 和 可微-可导，得出：若f在x0可导，则在x0处连续。反映了可微，可导，连续的关系。
• 导函数，简称导数：若函数f 在区间I每一点都可导，则称f在I上的可导函数。提醒，每一点可导，可以推出每一点连续，可以得出一致连续，即在I上的可导函数，是I上的一致连续函数，注意与之前的知识连续，连续性与导数，微分关系密切。

第2节，讲求导方法和导数公式：

• 定义法求导：lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) x->x0
• 导数的四则运算，与函数极限的四则运算类似。
• 加减法定理：若函数u(x),v(x)都在x0可导，则函数f(x)=u(x)±v(x) 在x0 处可导，且f`(x0)=u`(x0)±v`(x0)
• 乘法定理：若函数u(x),v(x)都在x0可导，则函数f(x)=u(x)v(x) 在x0 处可导，且f`(x0)=u`(x0)v(x0) u(x0)v`(x0)
• 推论：若函数v(x)都在x0可导，C为常数，则函数Cv(x) 在x0 处可导，且(Cv(x0))`=Cv`(x0)
• 除法定理：若函数u(x),v(x)都在x0可导，且v(x0)≠0，则函数f(x)=u(x)/v(x) 在x0 处可导，且
• f`(x0)=[u`(x0)v(x0)-u(x0)v`(x0)]/(v(x0))^2
• 反函数求导定理：设y=f(x) 为 x=φ(y)的反函数，若φ(y)在点y0的某邻域内连续，严格单调，且φ`(y0)≠0，则f(x)在x0上可导，且f`(x0)=1/φ`(y0)
• 复合求导定理：y=f(u)在u0可导，u=g(x)在x0可导，u0=g(x0)，则复合函数fOg在x0处可导，且(fOg)`(x0)=f`(u0)·g'(x0)=f'(g(x0))·g`(x0)，这也称为链式法则。

第3节，讲微分的计算与应用：根据导数法则，dy=f`(x)dx x∈I，不难推出微分运算法则

• d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)
• d[u(x)·v(x)] =v(x)·du(x) u(x)·dv(x)
• d[u(x)/v(x)]=(v(x)du(x)-u(x)dv(x))/v^2(x)
• d[fOg(x)]=f`(u)g'(x)dx，其中u=g(x)，du=g`(x)dx，这个称为一阶微分形式不变性，可用于推导积分换元公式。
• 应用：工程上的近似计算，取x0=0,Δx=x，在x0=0 附近，f(x)≈f(0) f`(0)x,当|x|充分小，sinx≈x,tanx≈x,ln(1 x)≈x,1/(1 x) ≈ 1-x,e^x ≈ 1 x ；也用在测量误差

第4节，高阶导数与高阶微分，之前讲的微分与导数都是一阶的，这里学习高阶的：

• 一阶导数的导数是二阶导数，定义与一阶导数类似，这里只讲形式：lim (f`(x)-f`(x0)/（x-x0）=f``(x0)，同理有三阶导数，。。。，n阶导数
• 高阶导数公式：y^(n) = [y^(n-1)]`
• 高阶导数运算法则：
• 1）[Cu(x)]^(n) = C u^(n)(x) C是常数
• 2）[u(x)±v(x)]​^(n) = [u(x)]^(n)±[v(x)]^(n)
• 3)[u(x)v(x)]^(n) = ∑Cn^k u^(n-k)(x)v^(n)(x)，莱布尼兹公式
• 二阶微分：d(dy) = d(f`(x)dx)=(f``(x)dx)·dx=f``(x)(dx)^2，记作d^2y=f``(x)dx^2
• n阶微分：d^ny=f^(n)(x) dx^n，从二阶微分开始，丧失微分形式不变性

第5节，参数方程与导数，偏向于应用

• 参数方程的定义：通过辅助变量t，来表示x,y的关系
• 用参数方程表示函数的导数--摆线方程
• 用极坐标方程表示曲线的切线--对数螺线切线方程
• 参数方程表示函数的高阶导数--摆线方程

本章最重要的是导数微分的概念和公式，后面两节偏向于实用方向。