中考数学最后一个函数题（这道中考数学题运用了连续函数的思想）

大家好，这是一道初看很简单，细看还可以，再仔细一想，其实蛮有意思的中考数学填空压轴题，来自江西2021中考。其中还蕴含有一点高数中连续函数的思想。

如图，在边长为6倍根号3的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点. 若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为_______。

分析：(1)首先，我们连接BD，DF，和BF，可以看到，当M，N分别与B，F重合时，三角形MND就是等边三角形。这是由正六边形的对称性以及等边三角形的判定定理决定的。很容易求得MN=18.

因为三角形BCD是一个底角为30度的等边三角形，因此它的底边等于腰长的二分之根号3倍，这些小知识点一定要记牢，中考可以为你节省不少时间。

(2)仔细一看，当点M是对角线DF和BE的交点，点N是对角线BD和CF的交点时，连接MN，此时三角形MND也是等边三角形，且点N是BD的中点，所以这个等边三角形的边长就是整数9.

不过如果你现在就决定答案是18或9的话，那你就上了出题人的当了。接下来才是这道题的重点，精髓所在。

(3)如图，如果我们绕点D旋转等边三角形BDF，使DF的对应边交BE于点M，BD的对应边交CF于点N的话。连接MN，三角形MND始终是一个等边三角形，这一点不难证明，可以通过判定全等三角形来证明。且第二种情形下，DN垂直于CF，使等边三角形的边长最短为9。这是因为点到直线的距离，垂线段最短。而当M点与E点重合时，等边三角形的边长等于DE，即等于6倍根号3，它约等于10.4，这是等边三角形MND的最长边长。

由于旋转过程中，等边三角形MND的边长所表示的函数是一个连续函数，也就是说，从9到6倍根号3内的所有数，都有可能是等边三角形MND的边长。所以在这个过程中必有一个等边三角形MND的边长等于10. 从而这道题的正确答案是18或9或10。填空题少答是没有分数的。因此中考的填空压轴题，要注意多答案这种情况，一定要把所有答案都解出来，才算完成。

事实上，当题目中提到所求的是整数边的时候，我们就应该想到，等边三角形MND可能还存在很多非整数边的情形。当我们求得18或9的结果时，应该意味到还有非整数边未必发现，其中可能还藏有符合要求的整数边。

这道题涉及到正六边形的性质，等边三角形的判定、旋转的知识，以及连续函数的思想，并且它可以归纳为双动点问题，综合性还是蛮高的，解这样的题目，对中考复习非常有意义。其解法主要分两步进行：1、连接对角线BD、BF和DF，找到前两种情形；2、旋转等边三角形BDF，找到蕴藏着的第三种情形。

你觉得这道中考填空压轴题怎么样呢？