射影定理做题过程（射影定理和美国中学数学竞赛题）

美国第35届中学数学竞赛于1984年2月举行，我国有100多名高中学生应邀参加了竞赛，取得了良好成绩。这次竞赛共出了30道试题，要求90分钟内解答，平均3分钟答一道题。每题均给出了五个答案，仅有一个正确。把正确的答案指出可得5分，不答给0分，答错给-1分。

下面我们来看一道与射影定理有关的题目。

题目呈现

直角三角形ABC中，AB为斜边，AC=15，高CH分AB为AH和HB，HB=16，则△ABC的面积是

（A）120；（B）144；（C）150；（D）216；（E）144√5.

在解题之前，我们来了解一下射影定理。

何为射影定理

射影定理，又称“欧几里得定理”，定理内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式表达为：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD²=AD·DB，

②BC²=BD·BA，

③AC²=AD·AB，

④AC·BC=AB·CD

射影定理的来源

这个射影定理从何而来？它是天上掉下来的吗？不是，它来源于欧几里得在《几何原本》中对勾股定理的证明。请看下图：

上图有三个正方形，它们称为跳舞的正方形，围成了一个直角三角形。图中还有五条辅助线，构成了欧几里得的风车。

勾股定理的证明超过400多种，欧几里得的证明独具韵味，不仅是勾股定理，还得到了射影定理。

这个图是欧几里得用来证明勾股定理的。第一条辅助线AL垂直于直角三角形的斜边，并把大正方形分为两个矩形。

欧几里得说，以BL为对角线的矩形面积等于小正方形，以CL为对角线的矩形面积等于中正方形。

因为这两个矩形面积之和等于大正方形的面积，所以，c²=a² b²，命题得证。

这两个矩形面积等于对应的正方形的面积，就是射影定理。

不明白？欧几里得继续作出AD和CF这两条辅助线，说：△ABD≌△BCF.

这个容易看出，△BCF绕B点顺时针旋转90°就与△ABD重合。

接下来进行等积变换。大家知道等积移动定理吗？保持底边，顶点在与底边平行的的直线上移动，所得的三角形面积相等。

对等积移动定理更常见的叙述是：共底边的三角形若顶点在与底边平行的直线上，则其面积相等。

这个定理的证明是轻而易举的：因为平行线间距离处处相等，所以这些三角形同底等高，从而等积。

运用等积移动定理，可得△FBA与△FBC面积相等，△BDA与△BDL面积相等。

因为△FBA面积为小正方形的一半，△BDL的面积为以BL为对角线的矩形面积的一半，所以小正方形面积等于对应的矩形面积。即AB²=射影·BC

举个例子

下面我们来看一个具体的例子。

如图所示，有这样一个小学水平的题目，已知直角三角形的三边边长，求斜边BC上的高AD.

这个问题简单，利用面积关系解题：

BC·AD=AB·AC⇒

AD=AB·AC÷BC

=6×8÷10

=4.8

继续追问，BD和CD是多少？

由射影定理可得：

BD=AB²÷BC=36÷10=3.6

CD=AC²÷BC=64÷10=6.4

应用射影定理，我们可以作图作出已知线段的平方根。请看下图：

如图所示，因为CD⊥DB，AC=1，所以AD就是AB的平方根。

解答美国竞赛题

有了前面的铺垫，我们来解答美国数学竞赛题。

如图所示，已知在直角三角形ABC中，AC=15，BH=16，设AH=x，据射影定理列方程：

x(x 16)=15²

x² 16x=225

用配方法解方程，

x² 16x 64=225 64

(x 8)²=289

解方程得

x₁=9，x₂=-25，

负根舍去，得AB=16 9=25，

由勾股定理可得，

BC²=625-225=400，

即BC=20，

所以三角形面积为150，答案是C。

总结

看懂了欧几里得对勾股定理的证明，就容易理解记忆射影定理了。

我们可以这样记：

直角边的平方=射影·斜边

斜边上的高的平方=勾的射影·股的射影

欧几里得的证明是对简单的基础知识点的组合和综合应用，辅助线也作得漂亮。虽然看懂命题47的证明不难，当个事后诸葛亮是容易的，但是独立发现创造这个证明却是很困难的。遥想当年，欧几里得用一套组合拳完成这个令人赏心悦目的证明后，欣喜的心情必定是酣畅淋漓，值得浮一大白庆贺！

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

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