精致的曲线（优雅完美的圆）

一．概念描述

现代数学：圆的定义一般有以下三种：

①平面上到定点O的距离等于定长r的全体点组成的一条曲线称为以点O为圆心、以r为半径的圆周，简称圆，记为⊙O或⊙O (r)。

②到定点的距离等于定长的动点的轨迹称为圆。该定点称为圆心，定长称为圆的半径。

③给定一条线段，使其绕它的一个固定的端点在平面内旋转一周，其另一个端点所经过的封闭曲线称为圆。线段的固定端点称为圆心，线段长称为圆的半径。

小学数学：关于圆的概念，小学数学教材中一般没有直接给出定义，而是举出一些生活中常见的圆形的物体，如钟面、硬币，车轮等来说明圆。到了初中，教材中才出现圆的定义，如2009年人教版教材九年级上册的第79页指出：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。但也有的教材，用描述性的语言来说明什么是圆，如2003年浙教版教材六年级七册的第54页是这样描述的：圆是由一条曲线围成的封闭图形，这条曲线上的每一个点到中心点的距离相等。

二．概念解读

圆是数学中最基本的图形，圆的定义可以归结为两种：一种是圆的描述性定义，即线段OA绕它的固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫作圆。实际上，这个圆是由无数条有公共端点的等长线段的另一端点所组成的图形。这种定义法直观形象，

但是“无数条有公共端点”中的“无数条”既不具体，也不确切、明白，因此，又用集合引进了圆的定义，即到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。这种定义把圆看成满足某种条件的所有点的集合（全体），这就明确了：①圆上的每一个点到圆心的距离都等于半径；②到圆心的距离等于半径的每一个点都在圆上。即圆上的“点”，既不“多”，也不“少”，从理论上对圆给予了严格的定义。

人们很早就开始了对圆的研究。我国春秋战国时期的数学家墨翟在2400多年以前，就对圆进行了科学的描述，墨翟在他所著的《墨子》一书中写道：“圆，一中同长也。”说的是："圆，有且只有一个中心，圆上各点到圆心的距离都相等”

从数学的角度看，圆具有很多特性。古希腊的毕达哥拉斯学派认为，在平面图形中，圆是最美的图形。这是因为圆是由一条曲线首尾相接构成的。古希腊人认为曲线是最美的，这可能是由于曲线的变化比较平缓柔和，因而让人感觉优雅而恬静。此外，圆还有很多特性，如圆具有各点均匀性，从圆上任意一点到圆心的距离都相等，圆周上各处的弯曲程度相同；圆还具有广泛的对称性，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，绕圆心旋转任意大小的角度都能与原图形重合；在固定周长的所有图形中，圆的面积最大……此外，圆中还蕴含着“化曲为直”、“以直代曲”、“极限”的数学思想方法。

圆在日常生活中随处可见，如车轮，井盖、钟面，花池、纽扣以及水面上的圆形波纹等都是圆形的，真是数不胜数。此外，人们还经常将圆运用到图案设计和建筑造型中，如奥运会上的五环旗和草原上的蒙古包等。可以说，圆不仅使我们的生活交得方便舒适，还将我们周围的世界变得五彩斑斓。

圆还是人们的精神寄托---圆具有均匀、对称、圆顺和不偏不倚、公正、公平、客观的品质，因此，中国历来崇尚圆的文化。此外，圆中蕴含了许多哲理和规范，没有规矩、不成方圆，天圆地方等都是中国的传统思想。

综上所述，虽然圆是一个基本的几何图形，但其内涵却是相当丰富的。

三．教学建议

(1)充分经历圆的动态生成过程，探究圆的本质特征

圆是学生认识的第一个曲边图形，具有丰富的教育内涵，因而在教学上会出现很多不同的方法和途径。但不论怎样演绎，有一点是达成共识的，那就是要紧紧抓住圆的本质特征，让学生充分经历圆的动态生成过程，探究“圆之所以为圆的本质所在”。在这一点上，有几位老师演绎得非常出色。如华应龙老师的“大成若缺认识圆”。他在一上课时就抛出一个问题：宝物距离你左脚3米，宝物可能在什么地方？学生由开始只想到一个点，到最后发现宝物所在的点形成了一个圆。然后华老师通过追问“为什么宝物所在的位置是个圆？”，引导学生围绕墨子“圆，一中同长也。”探索圆与其他正多边形的联系与区别，深刻感悟圆的特征。紧接着，华老师让学生用圆规画圆。学生发现画圆的方法后，华老师又进一步追问“为什么这样做就能画出一个圆”，使学生发现只有这样做才能符合圆的特点。最后大家用圆的特征解释生活中的现象，解决生活中的问题。整节课自始至终紧紧抓住概念本质，带领学生不断进行深入探究，并在此过程中自然地进行知识点的讲解和数学思想方法的渗透，显的水到渠成。

(2)数学文化的渗透应突出数学本质

由于圆在中国文化中有着特殊的地位，因此很多老师在教学“圆的认识” 中都努力挖掘数学文化，其中不乏成功的案例。除了上面提到的华应龙老师的“大成若缺认识圆”，丁杭樱老师也做得很出色。丁老师教学“圆的认识”时，在出示“圆出于方，方出于矩”后引导学生思考：从正方形如何变成一个圆呢？然后丁老师拿一张正方形纸环绕中心点对折三次，剪割，打开得到正八边形；合起来再对折一次，剪割，打开得到正十六边形......并且利用课件演示正方形切割成圆的过程，从有限过渡到无限，将古老的数学文化与朴素的数学极限思想完美地结合在一起。

四．推荐阅读

(1)《小学数学课堂的有效教学》（刘加馥，北京师范大学出版社，2008）

该书收录了一些“圆的认识”教学的经典案例，并做了精彩的点评。

(2)《从“走近圆的世界”到“圆的认识”---关于小学数学教学有效性的几点思考》（俞敏惠，《中小学数学（小学版）》，2010年第7-8期）

该文结合“圆的认识”的一些相关教学片段，提出了自己对于数学教学有效性的思考，给予很多中肯的建议。