怎么算三角形的内切圆（一道初中几何题-求三角形的内切圆的半径）

一道初中几何题-求三角形的内切圆的半径

在三角形ABC中选择AC边的点D和E，使AD: DE: EC = 1:2:3。同时选择AB边的F点和G点，使得DF∥EG∥CB。设ADF周长的数值等于EGBC面积的数值。三角形ABC的内切圆的半径是多少?

解：解此题需要一个引理，即三角形的内切圆的半径与面积和周长有如下的关系，即

R=A/s

其中A是三角形的面积， s 是三角形周长的一半，这个公式很好证明，利用面积相加即可证得，在此省略。

设s和A分别为三角形ABC的半周长和面积。根据上面的引理，我们知道ABC的内切圆的半径是A/s。由于三角形ADF和三角形ACB的相似比为1/6，因此ADF的周长为2s/6 = s/3。由于AEG和ACB的相似比为3/6=1/2，因此AEG的面积为A/4。因此，四边形EGBC的面积=A-A/4=3A/4, 根据题意s/3 = 3A/4，化简为4s = 9A。因此，A/s = 4/9。