如何从数学角度理解波粒二象性（波粒二象性理论）

在量子力学里，微观粒子有时会显示出波动性（这时粒子性较不显著），有时又会显示出粒子性（这时波动性较不显著），在不同条件下分别表现出波动或粒子的性质。这种称为波粒二象性的量子行为是微观粒子的基本属性之一。

波粒二象性指的是微观粒子显示出的波动性与粒子性。波动所具有的波长与频率意味着它在空间方面与时间方面都具有延伸性。

而粒子总是可以被观测到其在某时间与某空间的明确位置与动量。采用哥本哈根诠释，更广义的互补原理可以用来解释波粒二象性。互补原理阐明，量子现象可以用一种方法或另外一种共轭方法来观察，但不能同时用两种相互共轭的方法来观察。

在经典力学里，研究对象总是被明确区分为“纯”粒子和“纯”波动。前者组成了我们常说的“物质”，后者的典型例子则是光波。

波粒二象性解决了这个“纯”粒子和“纯”波动的困扰。它提供了一个理论框架，使得任何物质有时能够表现出粒子性质，有时又能够表现出波动性质。

量子力学认为自然界所有的粒子，如光子、电子或是原子，都能用一个微分方程，如薛定谔方程来描述。这个方程的解即为波函数，它描述了粒子的状态。

这个波函数具有叠加性，它们能够像波一样互相干涉。同时，波函数也被解释为描述粒子出现在特定位置的机率幅。这样，粒子性和波动性就统一在同一个解释中。

之所以在日常生活中观察不到物体的波动性，是因为他们质量太大，导致德布罗意波长比可观察的极限尺寸要小很多，因此可能发生波动性质的尺寸在日常生活经验范围之外。这也是为什么经典力学能够令人满意地解释“自然现象”。反之，对于基本粒子来说，它们的质量和尺寸局限于量子力学所描述的范围之内，因而与我们所习惯的图景相差甚远。

物质的粒子性由能量E{\displaystyle E} 和动量P{\displaystyle p}刻画，波的特征则由频率V{\displaystyle \nu }和波长λ{\displaystyle \lambda }表达，这两组物理量由普朗克常数h{\displaystyle h}联系在一起：

波粒二象性理论是如何发展起来的，其实我们已经通过前面内容，有了了解。

在十九世纪后期，日臻成熟的原子论逐渐盛行，根据原子理论的看法，物质都是由微小的粒子——原子构成，例如，约瑟夫·汤姆孙的阴极射线实验证实，电流是由被称为电子的粒子所组成。

在那时，物理学者认为大多数的物质是由粒子所组成。与此同时，波动论已经被相当深入地研究，包括干涉和衍射等现象。由于光波在杨氏双缝实验、夫琅禾费衍射实验中所展现出的特性，明显地说明它是一种波动。

不过在二十世纪来临之时，这些观点面临了一些挑战。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦对于光电效应用光子的概念来解释，物理学者开始意识到光波具有波动和粒子的双重性质。

到1924年，路易·德布罗意提出“物质波”假说，他主张，“一切物质”都具有波粒二象性，即具有波动和粒子的双重性质。根据德布罗意假说，电子是应该会具有干涉和衍射等波动现象。

1927年，克林顿·戴维森与雷斯特·革末设计与完成的戴维森-革末实验成功证实了德布罗意假说。

最早人们做了很多的光学实验，较为完全的光理论最早是由克里斯蒂安·惠更斯发展成型，他提出了一种光波动说。使用这理论，他能够解释光波如何因相互干涉而形成波前，在波前的每一点可以认为是产生球面次波的点波源，而以后任何时刻的波前则可看作是这些次波的包络。从他的原理，可以给出波的直线传播与球面传播的定性解释，并且推导出反射定律与折射定律，但是他并不能解释，为什么当光波遇到边缘、孔径或狭缝时，会偏离直线传播，即形成衍射效应。

惠更斯假定次波只会朝前方传播，而不会朝后方传播。他并没有解释为什么会发生这种物理行为。

稍后，艾萨克·牛顿提出了光微粒说。他认为光是由非常奥妙的微粒组成，遵守运动定律。这可以合理解释光的直线移动和反射性质。但是，对于光的折射与衍射性质，牛顿的解释并不很令人满意，他遭遇到较大的困难。

由于牛顿无与伦比的学术地位，他的光粒子理论在一个多世纪内无人敢于挑战，而惠更斯的理论则渐渐为人淡忘。直到十九世纪初衍射现象被发现，光的波动理论才重新得到承认。而光的波动性与粒子性的争论从未平息。

托马斯·杨和奥古斯丁·菲涅耳分别做出重大贡献。托马斯·杨完成的双缝实验显示出，衍射光波遵守叠加原理，这是牛顿的光微粒说无法预测的一种波动行为。这个也是我们前面就提到的知识点。这实验确切地证实了光的波动性质。

奥古斯丁·菲涅耳提出惠更斯-菲涅耳原理，在惠更斯原理的基础上假定次波与次波之间会彼此发生干涉，又假定次波的波幅与方向有关。惠更斯－菲涅耳原理能够解释光波的朝前方传播与衍射现象。

光波动说并没有立刻取代光微粒说。但是，到了十九世纪中期，光波动说开始主导科学思潮，因为它能够说明偏振现象的机制，这是光微粒说所不能够的。

同世纪后期，詹姆斯·麦克斯韦将电磁学的理论加以整合，提出麦克斯韦方程组。这方程组能够分析电磁学的种种现象。从这方程组，他推导出电磁波方程。应用电磁波方程计算获得的电磁波波速等于做实验测量到的光波速度。麦克斯韦于是猜测光波就是电磁波。电磁学和光学因此联结成统一理论。

1888年，海因里希·赫兹做实验发射并接收到麦克斯韦预言的电磁波，证实麦克斯韦的猜测正确无误。从这时，光波动说开始被广泛认可。

波粒二象性理论还射击到辐射理论和光电效应。1901年，马克斯·普朗克发表了一份研究报告，他对于黑体在平衡状况的发射光波频谱的预测，完全符合实验数据。在这份报告里，他做出特别数学假说，将谐振子（组成黑体墙壁表面的原子）所发射或吸收的电磁辐射能量加以量子化，他称呼这种离散能量为量子，与辐射频率v的关系式为E=hv{\displaystyle E=h\nu }E ；其中，E{\displaystyle E}是离散能量，h{\displaystyle h}是普朗克常数。

这就是著名的普朗克关系式。从普朗克的假说，普朗克推导出一条黑体能量分布定律，称为普朗克黑体辐射定律。

而爱氏的光电效应指的是，照射光束于金属表面会使其发射出电子的效应，发射出的电子称为光电子。为了产生光电效应，光频率必须超过金属物质的特征频率，称为其“极限频率”。

举例而言，照射辐照度很微弱的蓝光束于钾金属表面，只要频率大于其极限频率，就能使其发射出光电子，但是无论辐照度多么强烈的红光束，一旦频率小于钾金属的极限频率，就无法促使发射出光电子。根据光波动说，光波的辐照度或波幅对应于所携带的能量，因而辐照度很强烈的光束一定能提供更多能量将电子逐出。然而事实与经典理论预期恰巧相反。

1905年，爱因斯坦对于光电效应给出解释。他将光束描述为一群离散的量子，现称为光子，而不是连续性波动。从普朗克黑体辐射定律，爱因斯坦推论，组成光束的每一个光子所拥有的能量 {\displaystyle E}E等于频率v{\displaystyle \nu }乘以一个常数，即普朗克常数，他提出了“爱因斯坦光电方程”

假若光子的频率大于物质的极限频率，则这光子拥有足够能量来克服逸出功，使得一个电子逃逸，造成光电效应。

爱因斯坦的论述解释了为什么光电子的能量只与频率有关，而与辐照度无关。虽然蓝光的辐照度很微弱，只要频率足够高，则会产生一些高能量光子来促使束缚电子逃逸。尽管红光的辐照度很强烈，由于频率太低，无法给出任何高能量光子来促使束缚电子逃逸。

1916年，美国物理学者罗伯特·密立根做实验证实了爱因斯坦关于光电效应的理论。从麦克斯韦方程组，无法推导出普朗克与爱因斯坦分别提出的这两个非经典论述。物理学者被迫承认，除了波动性质以外，光也具有粒子性质。

既然光具有波粒二象性，应该也可以用波动概念来分析光电效应，完全不需用到光子的概念。1969年，威利斯·兰姆与马兰·斯考立（Marlan Scully）应用在原子内部束缚电子的能级跃迁机制证明了这论述。

1924年，路易·德布罗意表述出德布罗意假说。他声称，所有物质都拥有类波动属性。

三年后，通过两个独立的电子衍射实验，德布罗意的方程被证实可以用来描述电子的量子行为。在阿伯丁大学，乔治·汤姆孙将电子束照射穿过薄金属片，并且观察到预测的干涉样式。在贝尔实验室，克林顿·戴维森和雷斯特·革末做实验将低速电子入射于镍晶体，取得电子的衍射图样，这结果符合理论预测。

后来海森堡提出不确定性原理，就是我们上一章的内容。海森堡原本解释他的不确定性原理为测量动作的后果：准确地测量粒子的位置会搅扰其动量，反之亦然。他并且给出一个思想实验为范例，即著名的海森堡显微镜实验，来说明电子位置和动量的不确定性。这思想实验关键地倚靠德布罗意假说为其论述。但是现今，物理学者认为，测量造成的搅扰只是其中一部分解释，不确定性存在于粒子本身，是粒子内秉的性质，在测量动作之前就已存在。

实际而言，对于不确定原理的现代解释，将尼尔斯·玻尔与海森堡主导提出的哥本哈根诠释加以延伸，更甚倚赖于粒子的波动说：就如同研讨传播于细绳的波动在某时刻所处的准确位置是毫无意义的，粒子没有完美准确的位置；同样地，就如同研讨传播于细绳地脉波的波长是毫无意义地，粒子没有完美准确的动量。此外，假设粒子的位置不确定性越小，则动量不确定性越大，反之亦然。

自从物理学者演示出光子与电子具有波动性质之后，对于中子、质子也完成了很多类似实验。在这些实验里，比较著名的是于1929年奥托·施特恩团队完成的氢、氦粒子束衍射实验，这实验精彩地演示出原子和分子的波动性质。

近期，关于原子、分子的类似实验显示出，更大尺寸、更复杂的粒子也具有波动性质，这在本段落会有详细说明。

1970年代，物理学者使用中子干涉仪完成了一系列实验，这些实验强调引力与波粒二象性彼此之间的关系。]中子是组成原子核的粒子之一，它贡献出原子核的部分质量，由此，也贡献出普通物质的部分质量。在中子干涉仪里，中子就好似量子波一样，直接感受到引力的作用。因为万物都会感受到引力的作用，包括光子在内，这是已知的事实，这实验所获得的结果并不令人惊讶。但是，带质量费米子的量子波，处于引力场内，自我干涉的现象，尚未被实验证实。

1999年，维也纳大学研究团队观察到C60富勒烯的衍射。富勒烯是相当大型与沉重的物体，原子量为720 u，德布罗意波长为2.5 pm，而分子的直径为1 nm，大约400倍大。2012年，这远场衍射实验被延伸实现于酞菁分子和比它更重的衍生物，这两种分子分别是由58和114个原子组成。在这些实验里，干涉图样的形成被实时计录，敏感度达到单独分子程度。

2003年，同样维也纳研究团队演示出四苯基卟啉的波动性。这是一种延伸达2 nm、质量为614 u的生物染料。在这实验里，他们使用的是一种近场塔尔博特-劳厄干涉仪。使用这种干涉仪，他们又观察到C60F48.的干涉条纹，C60F48.是一种氟化巴基球，质量为1600 u，是由108 个原子组成。

像C70富勒烯一类的大型分子具有恰当的复杂性来显示量子干涉与量子退相干，因此，物理学者能够做实验检试物体在量子-经典界限附近的物理行为。

2011年，对于质量为6910 u的分子做实验成功展示出干涉现象。2013年，实验证实，质量超过10,000 u的分子也能发生干涉现象。

大致而言，康普顿波长是量子效应开始变得重要时的系统长度尺寸，粒子质量越大，则康普顿波长越短。史瓦西半径是粒子变为黑洞时的其所有质量被拘束在内的圆球半径，粒子越重，史瓦西半径越大。当粒子的康普顿波长大约等于史瓦西半径时，粒子的质量大约为普朗克质量，粒子的运动行为会强烈地受到量子引力影响。

普朗克质量为2.18×10-5g，超大于所有已知基本粒子的质量；普朗克长度为1.6×10-33cm，超小于核子尺寸。从理论而言，质量大于普朗克质量的物体是否拥有德布罗意波长这个问题不很清楚；从实验而言，是无法达到的。这物体的康普顿波长会小于普朗克长度和史瓦兹半径，在这尺寸，当今物理理论可能会失效，可能需要更广义理论替代。【我认为在这个尺寸下物理理论也不会失效，下文会详细论述。】

在2015年人类获得首张图像，光同时显现波动性和粒子性。一直以来，人们从未直接观测到粒子在同一时刻表现出波和粒子的形态。

2015年3月2日，来自洛桑联邦理工学院的研究者们发表了他们的新发现。

他们用射入奈米线的光脉冲的两个反向分量形成驻波，然后在附近注入一束电子，电子束因遭遇光驻波而被加速或减速，通过记录这些速度改变的区域，研究者们得以显现驻波的外观，而驻波体现了光的波动性。

实验在显现光的波动性的同时，也显示了其粒子性。当电子进入驻波，它们撞击光子并改变了速度。速度上的变化表明光子和电子之间能量包(量子)的交换。这种速度上的变化以及它所暗示的能量交换表明驻波中存在的粒子行为。

主持实验的Fabrizio Carbone认为，这表明量子力学的佯谬式的特质是可以被直接记录的，还认为，象这样在纳米尺度描绘并且控制量子现象，开辟了通矢量子计算的新途径。他们的突破性研究发表在Nature Communications。

爱因斯坦这样描述波粒二象性：“好像有时我们必须用一套理论，有时候又必须用另一套理论来描述（这些粒子的行为），有时候又必须两者都用。我们遇到了一类新的困难，这种困难迫使我们要借助两种互相矛盾的的观点来描述现实，两种观点单独是无法完全解释光的现象的，但是和在一起便可以。”

现在回到开篇时候，我的提问：“你怎么看波粒二象性？”我们的介绍是一般性，普通性的知识细节，很多知识，你在网上也能找到。所以我们要有更深刻的理解。

我现在问你这样一个问题：“既然粒子具有玻璃二象性，为什么又说一些基本粒子无法再分？”

这个是细节问题，问题并不难。粒子具有波粒二象性和粒子无法再分是两个概念。粒子无法再分是从结构形态说的；粒子具有波粒二象性是从存在状态或运动状态说的。

再者波粒二象性，是指粒子具有波动和粒子的特性。德布罗意的观点我非常赞同，一切物质皆有波动，也即有波长。

即使是一个粒子也能表现出波粒二象性。这个问题上一章在不确定性原理中有讲过。电子双缝实验，也是这样显示的。

这就是量子世界烧脑的原因。其实包括不确定性原理，波粒二象性等其最根本的原因，现在还不知道。

一个很重要的问题，我早应该问大家，但一直拖到现在。那就是量子世界与宏观世界的界限在哪里？

这在哲学上可以用量变和质变的关系描述。粒子质量，大小等小到多少的时候属于粒子世界？

我们的教科书中没有提到这个问题，也没有回答这个问题。就说明这个问题不是那么容易的。

正像我处理引力与惯性的思维，我以为在量子世界也可以用这个思维去理解。

即引力与惯性谁重要？显然我的答案是引力更重要。为什么呢？因为引力是惯性的源泉。这是我在物理宇宙科普书籍《变化》中反复强调的一个点。

引力存在，惯性才有。物质存在，引力才存在，惯性才存在。这是他们的关系。

现在就波粒二象性也这样问，粒子的性质状态波动性重要还是粒子性重要？

注意这个问题中的哪个重要，其实是人为思考的。本身客观的粒子，没有这样的区分。引力是惯性也是，其实是不可分的，一体的。之所以要这样思考，这样问，是为了大家好理解量子世界。

把复杂问题简单化的理解就是组成物质的是粒子，不是“波动性”，所以波粒二象性中“粒子性”更重要。然后是波动性。

现在来回答量子世界与宏观世界界限的问题。我们说日常生活中感觉不到房屋的波动性，水杯的波动性，这是质量大，导致德布罗意波长比可观察的极限尺寸要小很多，因此可能发生波动性质的尺寸在日常生活经验范围之外。这也是为什么经典力学能够令人满意地解释“自然现象”。反之，对于基本粒子来说，它们的质量和尺寸局限于量子力学所描述的范围之内，因而与我们所习惯的图景相差甚远。

其实上面的这个描述，就包含了宏观与量子的分别描述。上面说了在物理学里，长度与质量之间存在有两种基本关系。如下图。

大致而言，康普顿波长是量子效应开始变得重要时的系统长度尺寸，粒子质量越大，则康普顿波长越短。

史瓦西半径是粒子变为黑洞时其所有质量被拘束在内的圆球半径，粒子越重，史瓦西半径越大。当粒子的康普顿波长大约等于史瓦西半径时，粒子的质量大约为普朗克质量，粒子的运动行为会强烈地受到引力影响。

普朗克质量为2.18×10-5g，大约是一粒灰尘的质量，这个数值大于所有已知基本粒子的质量；普朗克长度为1.6×10-33cm，经典的引力和时空开始失效、量子效应起支配作用的长度标度。它是“长度的量子”。这个数值小于核子尺寸。

从理论而言，质量大于普朗克质量的物体是否拥有德布罗意波长这个问题不很清楚；从实验而言，是无法达到的。我个人以为是存在德布罗意波长的，只是数量级很小。

【质量大于普朗克质量的物体】这物体的康普顿波长会小于普朗克长度和史瓦兹半径，在这尺寸，量子世界的物理规则会失效，经典物理规则开始显示效应。我个人认为这就是它们的界限。

我看到网上有认为在这样的尺寸下，物理理论会失效。上文中有。我这个是修正版。就是我认为不会失效。问题是哪种规则开始显示效应。

在这里我还要提醒各位一点，任何理论，任何力都不可避免引力对其的作用。无论这种影响多么小，作用肯定是存在的。那么深刻的内涵就来了，引力是什么？引力是物质时空的性质。那就是说任何理论都避免不了时空的“扰动”。

这就是我为什么在不确定性原理中提到“时空扰动”这个词，只是这种扰动，还不能被计算。宏观世界对于量子世界的影响，就是这样的进行的。而量子世界对宏观世界的影响，也是直接的。两者其实是一体。所以大统一理论是必要的。

摘自独立学者，科普作家，国学起名师灵遁者量子力学科普书籍《见微知著》

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