初中几何辅助线能不能作角(初中三角形添辅助线)

大家好,我是徽乡小居。今天讲解初中三角形非常重要也是很难的一种添辅助线思想方法——旋转。经过2天的细心筛选整理,对旋转法有自己的总结、心得,可以编写内容了。废话少说,我们来看第一题。

概念 一个图形绕某点转动一个角度称为旋转变换

1.如图,在等腰Rt△ABC中,∠A=90°,P是△ABC内的一点,PA=1,PB=3,PC=√7(根号7),则∠CPA=_____________.

初中几何辅助线能不能作角(初中三角形添辅助线)(1)

思路分析:通过观察、分析必须要作辅助线才能解,看AB=AC,P是△ABC内的一点容易想到旋转法,因为旋转法必须有两边相等才能通过旋转构造全等三角形。如下图所示,将△ABP绕逆时针旋转90°得到△ACQ,根据旋转的性质可得出∠QPA=45°,根据勾股定理可证出∠PAQ=90°,从而得出答案。

初中几何辅助线能不能作角(初中三角形添辅助线)(2)

总结:旋转思想添辅助线具有的共性:两边相等且共点,发现这样的特点就注意用旋转思路巧解题了。本题考查了等腰直角三角形及旋转的性质,难度大,很难想到将△ABP正确的旋转.

升华:旋转变换的思想作辅助线的三大作用:

一、将几何图形中彼此孤立的线段或角绕某点旋转后,使其之间的数量关系或大小关系明朗化;

二、将几何图形中的某个图形绕某点旋转后,使复杂问题简单化

三、能够从整体把握多条辅助线的作法。

再来看第二题,不用旋转来做还真难办。

2.如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC内有一点P,若∠APB=∠APC,求证:∠PBC=∠PCB.

初中几何辅助线能不能作角(初中三角形添辅助线)(3)

思路分析:这道题很多学生以为简单,拿起了猛做,越做越不对劲。看这道题AB=AC,且共点A,可以用旋转变换来考虑,这样就打开正确之门做出来。如下图所示,把△ABP绕点A旋转到△ACP1,连接PP1,AP=AP1,PB=P1C,通过等腰三角形的性质,最后得出PC=P1C=PB ,从而得证.

初中几何辅助线能不能作角(初中三角形添辅助线)(4)

总结:遇到困难时,注意观察题目条件特点,从而用旋转变换来证明。本题考查旋转的性质和等腰三角形的性质。解题的关键在于熟练掌握及灵活运用旋转法。

好,看下面这道题,是不是可以自己做了呢?

3.正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE DF=EF,求∠EAF的度数.

初中几何辅助线能不能作角(初中三角形添辅助线)(5)

思路分析:是不是同样的味道,同样的感觉,AB=AD,共点A。如下图所示,将△ADF顺时针旋转90°到△ABG。易证△ABG≌△ADF,从而得到AF=AG,进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF,即可求出∠EAG ∠EAF=90°.

初中几何辅助线能不能作角(初中三角形添辅助线)(6)

我们再来看第4题,也具有旋转的共性,可用旋转思想来解题。

4.如图所示,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.试探究线段CN、BM、MN之间的关系,并加以证明.

初中几何辅助线能不能作角(初中三角形添辅助线)(7)

思路分析:现在对旋转法熟悉了吧,那么这道题明显旋转△BDM到△CDM1如下图所示。通过证明△MDN≌△NDM1就得到了。这道题证明三条线线段和差关系也可以用截长补短法来添辅助线。

初中几何辅助线能不能作角(初中三角形添辅助线)(8)

证明:如图所示,延长AC至M1,使CM1=BM,连接DM1

∵ △ABC是正三角形,∴ ∠ABC=∠ACB=60°.

∵ ∠BDC=120°,且BD=CD,

∴ ∠DBC=∠DCB=30°.

∴ ∠ABD=∠ACD=90°.

又∵ BD=CD,BM=CM1

∴ Rt△BDM≌Rt△CDM1(SAS).

∴ DM=DM1,∠BDM=∠CDM1

∴ ∠MDM1=∠MDC+∠CDM1=∠MDC+∠BDM=∠BDC=120°.

又∵ ∠MDN=60°.∴ ∠M1DN=∠MDN=60°.

又∵ DM=DM1,DN=DN,∴ △MDN≌△M1DN(SAS).

∴ MN=M1N=NC+M1C=CN+BM.

到这里想必旋转思想添辅助线已经学会了,那么一起来练练两道题吧。

5.如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为 .

初中几何辅助线能不能作角(初中三角形添辅助线)(9)

答案】24 9√3(根号3)

6.D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

(1)当∠MDN绕点D转动时,求证 DE=DF。

(2)若 AB=2,求四边形 DECF 的面积。

初中几何辅助线能不能作角(初中三角形添辅助线)(10)

初中几何辅助线能不能作角(初中三角形添辅助线)(11)

第6题答案

最后,欢迎大家转发、评论。更多精彩内容,下期见!

,

免责声明:本文仅代表文章作者的个人观点,与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并自行核实相关内容。文章投诉邮箱:anhduc.ph@yahoo.com

    分享
    投诉
    首页