高中数学等差数列公式推导(高中等差数列的平方和公式及应用)
数学语言显示不是很合适,看着麻烦的可以直接跳过文字看word编辑截图,下面我们就来说一说关于高中数学等差数列公式推导?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!
高中数学等差数列公式推导
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已知数列an是等差d=1的等差数列,Sn=a1^2 a2^2 .... an^2。
1^2 2^2 3^2 .... n^2=n(n 1)(2n 1)/6
如何求得呢?
观察结果和为n的3次方。我们可以通过n^3来求得。
(n 1)^3=n^3 3n^2 3n 1
(n 1)^3 - n^3=3n^2 3n 1
n^3 -(n-1)^3=3n^2 3n 1
……
2^3-1^3=3*1^2 3*1 1
将以上等式左右相加,得
(n 1)^3-1=3(1^2 2^2 3^2 .... n^2) 3(1 2 …… n) n
将(n 1)^3=n^3 3n^2 3n 1,1 2 …… n=n(n 1)/2代入上式
求得1^2 2^2 3^2 .... n^2=n(n 1)(2n 1)/6
拓展:
已知数列an是等差d的等差数列,Sn=a1^2 a2^2 .... an^2
an^2=(a1 (n-1)d)^2=a1^2 2a1(n-1)d ((n-1)d)^2
Sn=na1^2 2a1d(1 2 ... (n-1)) d^2(1^2 2^2 3^2 .... (n-1)^2)
=na1^2 n(n-1)a1d d^2(n-1)n(2n-1)/6
当首项为1,公差为1时就变成了前n个自然数的平方和。
你学会了吗?快来练习一下吧
练习:求1×2 2×3 …… 99×100
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