数学中没有底数（我们应该如何去理解数学中的自然底数e）

情人节看这篇文章的

都是单身狗

眼看着情人节就要到了，超模君心早已激（sheng）动（wu）万（ke）分（lian）。。。

本来今天准备跳票的，但良心过不去，那就和各位模友们聊聊：自然底数e。

一个令人不可思议的常数

关于这个数的诞生，故事就要穿越到公元前500年！

有一天，热爱学习的毕达哥拉斯学派的弟子希勃索斯(Hippasus)正在认真的做数学题。

突然，惊悚地发现一个正方形的对角线与边长之比不是整数。

当希勃索斯的发现上报给毕氏学派的领导人后，面对希勃索斯不是嘉奖，而是灾难。

原来，这个发现与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。使得该学派领导人感到无比的惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。

而希勃索斯在等待奖励的时候，却被转入监牢因囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。

而这便是无理数的萌芽，但却被所谓的信仰所磨灭了！

历史的长河不断流转，故事又发生在公元某一年的京西大钱庄。

商人小天因为资金周转不良，跑来京西大钱庄跟掌柜刘强西借钱！

小天来到柜台前：刘掌柜，最近别来无恙呀！

刘强西谄媚道：原来是小天小姐，是什么风把您吹来了！

小天：今天也没别的事，就是想跟钱庄借个100两来用用！

刘强西早就猜到小天过来所为何事：小天小姐都开口了，100两当然可以，不过这个时间点，利息可能就要高些。

小天回答道：这个明白刘掌柜的苦处，那现在利息要多少，你说便是！

刘强西笑笑地伸出手：现在每年是5倍的利息！！！

小天听到后，大惊（尼玛，你比高利贷还要高利贷），可是借钱之事不能拖。

小天开始暗暗思索，这事应该可以商量：刘掌柜，咱这利息咱能否按月或者按天来给，要不到年底的时候一下拿这么多，我资金也不方便呀！

刘强西：那小天小姐，有何高见呀？

小天：刘掌柜，咱利息这么算，你给我的利息按1倍来算，我每三个月给你结算一次。

刘强西暗暗一算（这样下来一年本金 利息只有244.140两，不划算）：小天，你这压利息也压的太低了吧，要不给你算4倍，这可是我最低的底限了。

小天：刘掌柜，咱也不墨迹，这样，我按天跟你核算利息，你看看可不可以！

刘强西暗暗思索，365次的复利，这个数应该比4大，可以接受！

赶忙着让小天把合约给签了，让小天拿钱走人！

事后，刘强西细细核算这笔账，才发现，365次方的背后只有271.4567两。

刘强西，气绝！

其实在这个故事里，可以发现一个问题：

小天死死压住利息不变，却愿意不断增加计息周期，甚至愿意付365次复利。

其实这里面所涉及的便是常数e的奥秘！

从计息周期来看，以一年来说，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期越短，本利和就会越高。

有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？

lim(1 1/N)^N=e（2.718282）

答案是否定的，因为这个值会稳定下来，趋近于一极限值，而这个值便是常数e，代表着增长的极限！（见文：An Intuitive Guide To Exponential Functions & e）

此外，常数e也被众人称为自然底数。

原来在古希腊哲学家的自然思想，自然一词是指万物的内在规律，是已经存的事物，并不随着事物的发展而变化。

比如自然数（1,2,3...），便是指事物本身的属性，1就是1，2就是2，并不以人的喜好而变化。

而自然底数e与自然数（1,2,3...）一致，并不是被发明出来，而是从自然中被发现出来。

有趣的是，当我们在做对数计算的时候，用e做底数的对数 ln x 做计算，其形式相比其他底数，是最简约的，似乎在计算过程中，便默认了他的位置。

有自然底数e的加持，ln x 就像美学上的“增之一分则太长，减之一分则太短”。

相信，自然底数e便是数学的一种浪漫，数学的一种美。

这种美令无数人为之痴迷，

愿终其一生，一睹芳容。

这就是所谓的：数学之美吧。

本文由超级数学建模编辑整理

部分资料来源于网络

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