钟表上分针的转动是旋转现象（时钟的三个针尖可以构成正三角形吗）

知乎上看到这样一个问题：

...... 是否存在一个时钟，使得时分秒三针长度都是整数长度，而且可以在某一时刻，三根表针的针尖正好构成一个正三角形的三个顶点？

问题的背景是：已知时钟的三根针无法形成互相之间成120°角的状态，所以当三根针等长时，时钟针尖无法形成正三角形。而三根针长度不同时，是否还有可能形成正三角形呢？

原题比较开放，特别是未指定三根针的长度比例。恰好我发现我身边多数的钟，分针与秒针的长度是一样的：

另外，题主要求三根针的长度都是整数，所以不妨假设时针、分针和秒针的长度比是1:2:3。那么形成正三角形时，时针必然在中间。我们希望算出出现正三角形时，时针与分针和秒针的角度，所以作图如下：

其中DA是时针，DB和DC是分针，△ABC是正三角形，长度k=1，长度i=j=2。要求出α角的大小，使用余弦定理，可以列出以下方程组：

△DAB中使用余弦定理:

△DBC中使用余弦定理:

因为h=f，所以问题变为解方程：

通过倍角公式可以解出的值，或者你像我一样懒的话，直接丢给wolfram alpha求解：

将弧度0.270919化为度数，约为15.5°

这样一来就简单多了，假设时间是x时y分z秒，时针相对于12点的夹角是：

，

分针的夹角是： ,

秒针的夹角是: ,

那么问题就变为解这样一组方程组：

那么同样丢给wolfram alpha求解比较快:)，比如 x=2时：

依次将x=0到11间的整数代入，可以得到以下10组解：

如果翻转分针和秒针位置，同样可以得出另外10组解，留给读者自行计算。

另外，尝试了一下，当三根针的长度比例是1:2:3的情况，发现此时三针的夹角恰为60°，可以得到更为漂亮的图形。其中一个形状是：

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