非欧几何是如何产生的（非欧几何的创立）

非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。

经得起历史风霜考验的,只有欧几里得的《几何原本》

《几何原本》作为古希腊数学的一种总结性再创造，作为欧几里得精心雕琢的数学模式，成为古希腊文化中的一块瑰宝。但是，无论是把欧氏几何作为一种哲学的表现，还是把它作为一种基督教神的教义理性，欧氏几何中有关第五公设（即：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧面两个内角的和小于两直角，则这两条直线无限延长后在这一侧相交）的论述总让人感到有某些不尽人意的遗憾，比如语言叙述冗长，与公理、公设应有的明显、直观性和不证自明的真理程度似乎有些差别。特别是，在第五公设的叙述中还隐含有直线可以无限延长的涵义，由于古希腊人在数学中对无限基本上采取了一种完全排斥的态度，因此这也引起了人们的关注和不安。

出于对柏拉图哲学的领悟，或是出于对欧氏几何体系的爱护，再加上后来对神学宗教的信仰，人们一直都希望能对欧几里得的第五公设做出新的叙述或能对它进行证明将其从公设中去掉而成为一个定理。从公元前300年到公元1800年的这两千多年的时间里，几乎所有有作为的数学家、神学家都在第五公设上投入了大量的精力：哲学家、神学家希望能由此进一步完善欧氏几何的理想化地位，数学家则希望能使几何的逻辑演绎体系更加完美。然而，在长达两千多年的时间中尽管数学家使用了不同的方法，结果却都没能获得成功。这里有数学家萨开里（Saccheri 1667-1733）、兰伯特(Lambert 1728-1777)和陶里努斯(Taurinus 1794-1874)等人对非欧几何逻辑可能性的初步认识，但他们的努力离非欧几何的确立只有一步之遥。

非欧几何

两千多年的失败历史无疑促使人们对这种证明的方法和目的等做出一定的反思，特别是由于正面的努力始终未能获得成功，因此，一些数学家就开始了反面的努力，即是希望能从相反的规定引出矛盾而用反证法证明第五公设。这种反证法的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来，那么，在新公理系统的推演过程中一定能出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反驳了“第五公设可证”这一假设，从而也就间接证得“第五公设不可证”。

经过了漫长的时间旅途，最终登上最高峰的非欧几何创立人是三位数学家：高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基。在这三位数学家中，

高斯的突出贡献在于：他清楚地认识到非欧几何像欧氏几何一样也可能被用于描述物质空间。他有明确的非欧几何观念，相当完整地完成了非欧几何的创建工作。但是，由于他害怕别人不理解，却没有将这方面的研究成果公布于世。在他去世以后，他的书信的公布才大大地推动了人们对非欧几何的认同和理解；

鲍耶，匈牙利数学家

鲍耶对非欧几何的创立也做出了杰出的贡献，他对于非欧几何在数学上的意义考虑了比较深入，对新几何的无矛盾性进行了长时间思索，并力图找到一种有关新几何无矛盾的证明；

罗巴切夫斯基

非欧几何，这个从欧几里得时代开始就纠缠数学家的噩梦，最终得到了完美的解决，而最完整、最先出版非欧几何的研究成果、并最早得到社会承认的是俄国数学家罗巴切夫斯基，他所做的主要工作是对第五公设的等价命题普列菲尔公理“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”作以否定，得到否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。在推演过程中，他得到一连串古怪的命题，但是经过仔细审查，却没有发现它们之间含有任何逻辑矛盾。

于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成一种新的几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳，也就是对第五公设不可证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何在现实世界的原型和类比物，罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为“想象几何”，后称为非欧几何。

黎曼

非欧几何的重要应用就是爱因斯坦创立的“相对论”。

尽管非欧几何的建立结束了数学界中的两千多年的一件“公案”，但是值得思考的是：为什么萨开里、兰伯特和陶里努斯等人已经站在了非欧几何的大门口，但却没有能够成功地跨出最后的一步？这里除了有个人的因素外，主要是整体性的文化环境，特别是思想观念在这过程中所发挥的重要作用。而高斯、鲍耶和罗切夫斯基能够创立非欧几何，一个首要的原因在于他们敢向欧氏几何的绝对真理性提出明确的挑战。因为事实上，非欧几何所表现出来的是对欧氏几何真理性、客观性和实在性的挑战。非欧几何的建立在西方的数学史上，是引起数学观念根本性变革的一件大事，因为对非欧几何的确认，实际上就已经意味着从古希腊以来的、以数学为代表的绝对真理观的终结；同时更是促进了西方数学在整个文化中的地位、发展方向和价值观念的重大变化，它标志着人类的数学脱离了原有文化加在数学上的各种非数学自身所应有的重负。