等差等比数列的性质及应用（等比数列性质的灵活运用）

高考要求

等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申 应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视 高考中也一直重点考查这部分内容

重难点归纳

1 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用

2 在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形

3 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果

典型题例示范讲解

例1已知函数f(x)= (x<－2) (1)求f(x)的反函数f-－1(x);

(2)设a1=1, =－f－-1(an)(n∈N*),求an;

(3)设Sn=a12 a22 … an2,bn=Sn 1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由

命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，考查学生的逻辑分析能力

知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题

错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{}为桥梁求an,不易突破

技巧与方法 (2)问由式子得=4,构造等差数列{},从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想

解 (1)设y=,∵x<－2,∴x=－,即y=f－-1(x)=－ (x>0)

(2)∵，∴{}是公差为4的等差数列，

∵a1=1, = 4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=

(3)bn=Sn 1－Sn=an 12=,由bn<,得m>,

设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是减函数，∴g(n)的最大值是g(1)=5,

∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn<成立

例2设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)

命题意图 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力

知识依托 本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件，求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解

错解分析 题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方

技巧与方法 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可由函数解析式求最值

解法一 设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有

化简得

设数列{lgan}前n项和为Sn,则Sn=lga1 lga1q2 … lga1qn－1=lga1n·q1 2 … (n－1)

=nlga1 n(n－1)·lgq=n(2lg2 lg3)－n(n－1)lg3=(－)·n2 (2lg2 lg3)·n

可见，当n=时，Sn最大 而=5,故{lgan}的前5项和最大

解法二 接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108 (n－1)lg,

∴数列{lgan}是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，

令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,∴n≤=5 5

由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大

例3　等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________

解法一由等差数列{an}的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2 Bn(A、B是常数）将Sm=30,S2m=100代入，得

,∴S3m=A·(3m)2 B·3m=210

解法二根据等差数列性质知 Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差数列，

从而有 2(S2m－Sm)=Sm (S3m－S2m)∴S3m=3(S2m－Sm)=210

解法三 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1 a2=100,∴a1=30,a2=70∴a3=70 (70－30)=110∴S3=a1 a2 a3=210

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