高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(1)

1. 用配方法求距离的最值

例1. 如图1,正方形ABCD、ABEF边长都是1,且平面ABCD、ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(2)

。试求当a为何值时,MN的值最小。

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(3)

图1

分析:此题的解题关键是想用含a的代数式表示距离,再用配方法求最值。

解:过M作

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(4)

,垂足为H,连结NH,如图1所示。在正方形ABCD中,

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(5)

,所以

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(6)

,因为平面

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(7)

平面AE,所以

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(8)

平面AE,即

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。因为

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(10)

,所以

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(11)

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(12)

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(13)

,由余弦定理求得

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(14)

。所以

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(15)

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(16)

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(17)

时,

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(18)

,即M、N分别移到AC、BF的中点时,MN的值最小,最小值为

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2. 结合实际找最值位置

例2. 在一张硬纸上,抠去一个半径为

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的圆洞,然后把此洞套在一个底面边长为4,高为6的正三棱锥

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(21)

上,并使纸面与锥面平行,则能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是________。

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(22)

图2

解:如图2所示,假设硬纸上的圆洞刚好卡在B'C'D'处。设正三棱锥的顶点A在平面BCD上的射影为A',在平面B'C'D'上的射影为O。

连结BA'、B'O并延长分别交CD、C'D'于E、E'点,则

平面

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平面BCD,所以

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(24)

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(25)

,即

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(26)

。又因为

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(27)

,所以

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(28)

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(29)

,所以

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(30)

,即能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(31)

3. 利用函数的有界性求体积最值

例3. 如图3,已知在

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中,

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高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(34)

平面ABC,

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(35)

于E,

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(36)

于F,

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高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(38)

,当

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变化时,求三棱锥

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(40)

体积的最大值。

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(41)

图3

解:因为平面ABC

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平面ABC,所以

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(43)

又因为

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,所以

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平面PAC,又

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平面PAC,所以

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(47)

,又

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(48)

,所以

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(49)

平面PBC,即

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EF是AE在平面PBC上的射影,

因为,

所以

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,即

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(52)

平面AEF。

在三棱锥中,

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,所以

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(54)

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(55)

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(56)

因为

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(57)

,所以

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(58)

因此,当

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(59)

时,

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(60)

取得最大值为

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4. 结合图形列方程求解。

例4. 棱长为2cm的正方体容器盛满水,把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没,然后再放入一个铁球,使它淹没水中,要使流出来的水量最多,这个铁球的半径应该为多大?

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(62)

图4

解:过正方形对角线的截面图如图4所示。

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高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(64)

设小球的半径为r。

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(65)

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(66)

,所以

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(67)

,解得

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(68)

,为所求。

--END--

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(69)

高中数学几何简单的消参法(立体几何中的最值问题的四种求法)(70)

,

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