微分中值定理干什么的（微分中值定理在说什么）

现在我们正式来开始学习微分三大中值定理中的第一个：罗尔定理！罗尔定理是由费马引理变化而来，上次我们大概用图形来表示了一下什么事费马引理。大家可以参照：微分中值定理在说什么？——费马引理介绍。现在我们还是先来看看罗尔定理是怎么定义的，然后再来看看罗尔定理和费马引理之间的相同和不同点。

罗尔定理是这样定义的：

如果函数 f(x) 满足以下条件：

（1）在闭区间 [a,b] 上连续，

（2）在开区间 (a,b) 内可导，

（3）f(a)=f(b)。

结果我们就会得到：则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

这儿的 ξ这个符号，其实没有实在意义，换成x0,m等符号都可以。 现在我们将这三个条件和费马引理比较可以发现不同点有两个：

（1）费马引理说的是领域范围，罗尔定理说的的是区间范围。

（2）罗尔定理多了一个f(a)=f(b)的条件。

为什么会有这两个不同条件，这两个不同点是用来排除什么情况的呢？我一一为大家说明。

①单调可导

②非单调可导

③不可导

条件（1）的情况我们分析完了，现在我们来看看条件（2）的情况。

条件（2）在开区间 (a,b) 内可导，这个条件的作用就是排除③不可导这种情况。就只剩下①单调可导②非单调可导这两种情况。即只剩下：

①单调可导

②非单调可导

现在条件（1）、条件（2）都分析完了，现在我们继续看条件（3）的引入会发生什么变化。

条件（3）f(a)=f(b)这一条件，就是排除①单调可导这种情况，将②非单调可导这种情况进行了修正。即是出现如下图的形式：

这个时候我们观察就可以得到这完全就是费马引理嘛，只不过不在是领域，而是变成了一个区间。变成区间就可以存在很多的极值，于是就有至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0这样的结论。

如果要给出具体的数学证明，其思路是：条件（1）和条件（3）可得到，在（a,b）区间至少存在f(x)的一个极值。加上条件（2），就变成了费马引理问题，得到结论！

后面再继续讲解拉格朗日中值定理！