对数与函数基本知识(对数函数yln1)
本文主要介绍函数的y=ln(1/2 x^2/3)的定义域、单调性、凸凹性、极限、奇偶性等性质,并通过导数计算函数的单调区间和凸凹区间,同时简要画出函数的示意图。
※.函数的定义域
根据函数特征,1/2 x^2/3>0,所以函数y=ln(1/2 x^2/3)的定义域为全体实数,即函数的定义域为:(-∞, ∞)。
因为函数y1=lnx在定义域上为增函数,函数y2=1/2 x^2/3为二次函数,当x>0时为增函数,当x<0时为减函数,所以二者的复合函数y=ln(1/2 x^2/3)的单调性与函数y2的函数单调性一致。
本题还可以通过导数知识来解析函数的单调性,步骤如下。
y=ln(1/2 x^2/3),对x求导,有:
dy/dx=(2*x/3)/(1/2 x^2/3)
=4x/(2x^2 3)=4x/(2x^2 3),可知:
(1)当x∈(-∞,0]时,dy/dx<0,此时函数为减函数;
(2)当x∈[0, ∞)时,dy/dx>0,此时函数为增函数。
※.函数的凸凹性
对dy/dx=4x/(2x^2 3)继续求导数,有:
d^2y/dx^2=4*(2x^2 3-x*2*2x)/(2x^2 3)^2,
=-2*(2x^2-3)/(2x^2 3)^2.
令d^2y/dx^2=0,则2x^2-3=0,求出x=±(1/2)√6,此时函数的凸凹性为:
(1)当x∈[-(1/2)√6,(1/2)√6]时,d^2y/dx^2>0,函数为凹函数;
(2)当x∈(-∞,-(1/2)√6∪((1/2)√6, ∞)时,d^2y/dx^2<0,函数为凸函数.
∵f(x)=ln(1/2 x^2/3);
∴f(-x)=ln[1/2 (-x)^2/3]=ln(1/2 x^2/3)=f(x),
即函数f(x)为偶函数。
Lim(x→-∞) ln(1/2 x^2/3)= ∞;
Lim(x→ ∞) ln(1/2 x^2/3)= ∞;
※.函数的示意图
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